lunes, 23 de abril de 2012

Proporciones en polígonos regulares

Para Robín,
Generalización del problema propuesto en un hexágono regular.Primera parte. Segunda parte
Construimos triángulos de forma que sus lados formen un polígono semejante en su interior. Buscamos ángulos enteros en estos triángulos de manera que la constante de proporcionalidad entre las áreas sea también entera.



Descarga del archivo Proporciones.ggb


Siguiendo con las notación anterior, dado n, el ángulo interior de nuestro polígono será Fi=180(n-2)/n
y Gamma= 180-Fi.
Entonces alfa recorre los valores entre 0 y Fi.
Fijado alfa, obtenemos beta= Fi-alfa,
Realmente no necesitamos hallar longitudes de lados, simplemente valorar k.



Por tanto basta encontrar los valores enteros de la función



¿Quién se anima a resolver el reto de Robín?



Y aprovechando que ha empezado la edición 3.141 del carnaval de matemáticas, participamos con esta entrada. En esta ocasión el anfitrión es el blog DesEquilibrios

domingo, 22 de abril de 2012

Proporciones en hexágono II

Para Robín:
Te dejo los archivos en geogebra. Si haces doble clic, creo que puedes verlo mejor. Tienes un protocolo de construcción donde ves cada paso.

En primer lugar, sigo con tu notación del comentario en la entrada anterior.
Fijado L y k buscamos b y alfa.


Por el teorema del Coseno:

Nos quedamos con la solución positiva, por tanto:

Para calcular alfa es más sencillo utilizar el teorema del seno:





 En este caso el ángulo alfa recorre las amplitudes desde 1 hasta 120. Aplicando el teorema del seno obtenemos b=sen(alfa)L/sen(60).




 En este caso fijamos la constante k y obtenemos el ángulo alfa, aplicando el teorema del coseno:
b=l/2(raíz(4k-3)-1)



jueves, 19 de abril de 2012

Proporciones en hexágonos


Para Robín:
El problema en cuestión planteado en el blog ¡Tierra a la Vista!:
Dado un hexágono regular, se dibujan seis triángulos rectángulos iguales, de ángulos 30 y 60 grados, como en la figura:

¿Qué proporción del área del hexágono mayor representa el área del hexágono menor?

Las pistas:

  • La fórmula del área de un polígono regular es:



siendo el número de lados y la longitud de cada lado, es decir  
Aunque hay varias maneras de hacerlo, yo utilizaría el teorema de Thales en triángulos proporcionales y la simetría de la figura.


  • Dos observaciones:
    - Todos los triángulos cuyos ángulos son 30,60,90 son semejantes y por Thales sus lados homólogos son proporcionales.(Utilizando esto yo llegaría a la relación que hay entre el lado del hexágono mayor y el lado del hexágono menor)

    - Si k es la constante de proporcionalidad entre los lados, entonces k al cuadrado es la constante de proporcionalidad entre las áreas.


  • Por si alguien no lo sabe...si dos triángulos son semejantes, es decir tienen los tres ángulos iguales,Thales dice:

Donde    son los lados de un triángulo y    son los lados homólogos del otro.


Respuesta de Robín:

Sean L y l los lados del hexágono grande y del pequeño. Vemos por trigonometría simple que
l = L/cos 30 -L tg 30 = L (1-sen 30)/cos 30 =
L/ 2 cos 30. Notemos que la diagonal d de los triángulos rectángulos, mide L /cos 30 por lo que d = 2l.
El área de un hexágono es proporcional al de los triángulos equiláteros que van de su centro a cada uno de sus lados y el de estos al cuadrado de su lado. En palabras menos gruesas A1/A2 = L^2/l^2 = (L/l)^2 = (2 cos 30)^2 = 4 cos ^2 30
= 4 3/4 = 3.

Perfecto, además nos regala este comentario:
No tengo ahora cámara fotográfica digital, pero en las analógicas, con película química; el diafragma que permitía la entrada de más o menos luz, y a la vez la regulación de la profundidad de campo nítido; consistía de triangulillos metálicos o de otro material, muy finos de este tipo, situados de esa forma, creo recordar , hexagonalmente. De tal manera, además, que en cada posición sucesiva del diafragma hexagonal, el área que permite la entrada de la luz, fuera la mitad de la del hexágono anterior. Pero no pienso yo ponerme a calcular las proporciones lineales en cada caso.


Pues verás Robín, has hecho un estupendo calculo trigonométrico, pero creo que es más fácil para los que no saben trigonometría aplicar la proporcionalidad...mis alumnos de la eso saben el Teorema de Thales, el Teorema de Pitágoras y además saben también que el radio de la circunferencia circunscrita en el hexágono coincide con el lado (es el único polígono regular que lo cumple).
Utilizando esto tenemos que:


Hay dos triángulos proporcionales:






Por tanto tenemos las relaciones siguientes:

 
De donde:



Esto ya nos lo imaginábamos, que x es tres veces el lado del hexágono pequeño. También podíamos haber deducido esto por los ángulos, pues al continuar uno de los catetos obtenemos triángulos equiláteros donde sus tres lados son iguales:


Por Pitágoras:



Sustituyendo tenemos



Luego


Y por tanto el área del hexágono pequeño representa un tercio del área del hexágono mayor.

Una vez aclarado esto... ¿quién se anima a responder al reto de Robín?

viernes, 13 de abril de 2012

Mención en los premios Liebster

Este blog se inició en un curso de formación sobre la web2.0, y ha sido campo de prácticas y pruebas sin intención de nada más...quizá algún día me decida a navegar con rumbo y dirección..., de momento voy dando bandazos y aprendiendo mucho de lo que hacen los demás.
Por eso ha sido una gran sorpresa para mi, y para este blog el recibir una mención en los premios Liebster de la mano de unos de mis sitios favoritos, el blog  "Los matemáticos no son gente seria" de Juan Martínez-Tébar Giménez, estupenda persona que me honra con su amistad y gran divulgador de nuestras queridas matemáticas.




La idea de estas menciones es llamar la atención sobre esos blog interesantes que no tienen, a veces, mucha repercusión y que pasan desapercibidos entre el gran público debido a la gran proliferación de blog que surjen diariamente. Y la forma de hacerlo es muy curiosa ya que quienes reciben una mención deben realizar una tarea:

"Los Premios Liebster (en alemán "favorito") son una interesante iniciativa destinada a promocionar pequeños blogs, en cuanto al número de visitas se refiere, a través de una cadena de premios simbólicos que los propios bloggers otorgan. Es decir, cada blogger que recibe el premio en reconocimiento a su blog, debe, a su vez, otorgar un nombramiento igual a otros 5 blogs de su elección. Sólo debe cumplir unas simples normas:

  1. Copiar y pegar el premio en el blog enlazándolo con el blogger que te lo ha otorgado.
  2. Premiar a tus 5 blogs favoritos con la condición de que tengan menos de 200 seguidores y dejarles un comentario en sus entradas para notificarles que han ganado el premio.
  3. Confiar en que continúen la cadena premiando a su vez a sus 5 blogs preferidos".


Mi primera mención es para un blog que me encanta, que descubrí por casualidad y quedé enganchada. Su autor es Marc Fresquet Martínez, y nos enseña todas sus creaciones en " Las Tierras de Narghai"

La segunda es para un blog muy especial, que nos enseña cada día una mirada diferente: Fotomat.es su autor es @notemates y podéis encontrar muchísimo más en su periódico digital yair.es

Si juntamos el juego y las matemáticas entonces tengo que mencionar  Juegos Topológicos de José Luis Rodriguez Blancas...nuestro Mago Moebius. Me encantan sus pompas de jabón y sus polifieltros.

Otro de los blogs que destaco es "Musas matemáticas...para inspirar clases creativas"...creo que el título lo dice todo. Su autora María José Presa, es una argentina con muuucha chispa.

Y por último quiero mencionar un blog donde a veces me pierdo un ratito, Ínsula Dulcamara, porque desde que conocí a Manuel en Salamanca no ha dejado de sorprenderme.

Algunos de mis blogs favoritos ya han recibido el premio, así que más contenta que unas pascuas...