jueves, 19 de abril de 2012

Proporciones en hexágonos


Para Robín:
El problema en cuestión planteado en el blog ¡Tierra a la Vista!:
Dado un hexágono regular, se dibujan seis triángulos rectángulos iguales, de ángulos 30 y 60 grados, como en la figura:

¿Qué proporción del área del hexágono mayor representa el área del hexágono menor?

Las pistas:

  • La fórmula del área de un polígono regular es:



siendo el número de lados y la longitud de cada lado, es decir  
Aunque hay varias maneras de hacerlo, yo utilizaría el teorema de Thales en triángulos proporcionales y la simetría de la figura.


  • Dos observaciones:
    - Todos los triángulos cuyos ángulos son 30,60,90 son semejantes y por Thales sus lados homólogos son proporcionales.(Utilizando esto yo llegaría a la relación que hay entre el lado del hexágono mayor y el lado del hexágono menor)

    - Si k es la constante de proporcionalidad entre los lados, entonces k al cuadrado es la constante de proporcionalidad entre las áreas.


  • Por si alguien no lo sabe...si dos triángulos son semejantes, es decir tienen los tres ángulos iguales,Thales dice:

Donde    son los lados de un triángulo y    son los lados homólogos del otro.


Respuesta de Robín:

Sean L y l los lados del hexágono grande y del pequeño. Vemos por trigonometría simple que
l = L/cos 30 -L tg 30 = L (1-sen 30)/cos 30 =
L/ 2 cos 30. Notemos que la diagonal d de los triángulos rectángulos, mide L /cos 30 por lo que d = 2l.
El área de un hexágono es proporcional al de los triángulos equiláteros que van de su centro a cada uno de sus lados y el de estos al cuadrado de su lado. En palabras menos gruesas A1/A2 = L^2/l^2 = (L/l)^2 = (2 cos 30)^2 = 4 cos ^2 30
= 4 3/4 = 3.

Perfecto, además nos regala este comentario:
No tengo ahora cámara fotográfica digital, pero en las analógicas, con película química; el diafragma que permitía la entrada de más o menos luz, y a la vez la regulación de la profundidad de campo nítido; consistía de triangulillos metálicos o de otro material, muy finos de este tipo, situados de esa forma, creo recordar , hexagonalmente. De tal manera, además, que en cada posición sucesiva del diafragma hexagonal, el área que permite la entrada de la luz, fuera la mitad de la del hexágono anterior. Pero no pienso yo ponerme a calcular las proporciones lineales en cada caso.


Pues verás Robín, has hecho un estupendo calculo trigonométrico, pero creo que es más fácil para los que no saben trigonometría aplicar la proporcionalidad...mis alumnos de la eso saben el Teorema de Thales, el Teorema de Pitágoras y además saben también que el radio de la circunferencia circunscrita en el hexágono coincide con el lado (es el único polígono regular que lo cumple).
Utilizando esto tenemos que:


Hay dos triángulos proporcionales:






Por tanto tenemos las relaciones siguientes:

 
De donde:



Esto ya nos lo imaginábamos, que x es tres veces el lado del hexágono pequeño. También podíamos haber deducido esto por los ángulos, pues al continuar uno de los catetos obtenemos triángulos equiláteros donde sus tres lados son iguales:


Por Pitágoras:



Sustituyendo tenemos



Luego


Y por tanto el área del hexágono pequeño representa un tercio del área del hexágono mayor.

Una vez aclarado esto... ¿quién se anima a responder al reto de Robín?

15 comentarios:

  1. El método más sencillo es el mejor, es decir el tuyo, Ana. Sólo le veo una crítica. Lo más
    fácil, es frecuentemente lo más difícil de ver y en particular, la semejanza entre triángulos , para utilizar al gran (por sencillo) teorema de Tales. De hecho a mí lo que más me ha costado entender de tus cálculos, es que los ángulos del triángulo rectángulo grande eran de 60 y 30. Tuve que hacer un cálculo trigonométrico, de hecho, par poder verlo (que el arco cuyo coseno es L/2L = 1/2 es de 60 º.

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  2. Si, tienes razón...No lo he explicado. Los ángulos de un hexágono regular los calculamos así: hacemos triángulos desde un mismo vértice, son 4, entonces suman todos 180 grados por cuatro y si dividimos entre seis, 120º cada ángulo. La diagonal parte a la mitad este ángulo, por tanto es de 60º. El otro es recto: 90º y al tercero no le queda otra que ser 30º.

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  3. Claro, la diagonal principal (la que pasa por el centro, pero no las otras, las que no pasan por el centro), es bisectriz del ángulo del hexágono que es de 180-360/6 = 180 - 60 = 120 grados. Pero hay que tener cuidado, ya que el asunto no es generalizable, y esa era mi duda. En el pentágono regular, por ejemplo, ninguna de las n(n-3)/2 = 5 diagonales es bisectriz.Y ahora mismo, sin tener un dibujo frente ami, no soy capaz de decir si en el octógono, hay diagonales bisectrices. Supongo que sí, pero tampoco lo puedo deducir sin dibujo a mano,y creo que en el heptágono regular tampoco hay diagonales bisectrices.


    Acabo de comprobar que las diagonales sólo son bisetrices, cuando son principales (las más largas) y cuando el número de lados del polígono es par. Los polígonos de número de lados impar, no tienen diagonales que biseccten sus ángulos.

    ¿ Conoces algún programa gratuito, que esté en Internet, para dibujar geométricamente, y que no sea difícil-complicado-demasiado exhaustivo de usar ?

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  4. Hola Robín,
    Realmente es por la simetría del hexágono...claro!! esto no pasa en un pentágono, ni en ninguno con vértices impares...
    Yo te recomiendo geogebra ( para mi es el mejor, código libre, fácil, ayudas, tutoriales, materiales...)
    Enlace
    Un abrazo

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  5. Enlace a geogebra :
    http://www.geogebra.org/cms/en

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  6. Extendiendo el problema planteado por Ana, calculemos ahora qué ángulo alfa deben de tener esos triángulos de lados L=lado del hexágono, d el más largo y b y los otros 2 ángulos beta y gama; para que la razón de las áreas del hexágono grande y pequeño: Ag/Ap sea el número k que queramos.

    El ángulo beta; que en el caso anterior era de 90º,cuando alfa era dado y era 30 º, es ahora de (120 -alfa) grados. Y el ángulo gama es de 180-(120-alfa+alfa) = 60º. Por el teorema del coseno: L^2 = b^2+d^2-2bdcos 60 = b^2+d^2-bd (1). El lado del hexágono pequeño es l=d-b y debemos de tener L^2/l^2 = k ---> (b^2+d^2-bd)/(d-b)^2 = k ---> L^2 = kbd/(k-1)(2)--->si k=2 L^2=2bd, si k=3 L^2=3bd/2, si k=5 L^2=5bd/4,...
    Tanbién por el teorema del coseno, tenemos que b^2=d^2+L^2-2dLcos(alfa), que combinado con la ecuación (1) nos da: 2d-b-2Lcos(alfa)=0 (3)
    Tenemos de (2) y de l = d-b que L^2/l^2 = kbd/(k-1)(d-b)^2 = k -->bd=(k-1)(d-b)^2. Desarrollando y haciendo d=tb obtenemos una ecuación del segundo grado en t, cuya solución es t = ((2k-1)/(k-1)+ raíz(((2k-1)/(k-1))^2-4))/2 con estos resultados concretos:
    k=2 t= (3+raíz(5))/2 d=((3+raíz(5))/2)b L=raíz(3+raíz(5))b
    alfa= arcocoseno((2+raíz(5))/2(raíz(3+raíz(5))=22,239º
    k=3 t=2 d=2b L=raíz(3)b
    alfa= arcocoseno(raíz(3)/2)=30º
    k=4 t= (7/3+raíz(13/9))/2 d=((7/3+raíz(13/9))/2)b L=1,535b
    alfa=arccoseno(0,826)=34,33º
    k=5 t=(9/4+raíz(17/16))/2 d=((9/4+raíz(17/16))/2)b


    Me ha costado sudor y tinta, Ana; yo que soy torpe y lento y despistado. Más de cinco horas de trabajo. Y he tenido suerte, porque hubo momentos en que pensaba que era imposible resolverlo; suerte de que el método para solucionarle se desvelara y la puerta acia la solución se abriera. Comprueba a ver,porque seguro que hay algún error tonto en algún sitio, porque me equivoco a menudo.

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    1. Perfecto Robín, pero te complicas mucho en los cálculos...Voy a hacerte una entrada nueva... :)

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  7. Corrección :"Y la puerta hacia la solución se abriera" Error de teclado, el haber escrito "acia" sin "h".

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  8. Los cálculos son correctos. Te mando el dibujo que lo comprueba, hecho mitad a mano y mitad a ordenador, por mí:

    http://img407.imageshack.us/img407/4797/angulodecreacindiafragm.jpg

    Te agradecería si me pudiera indicar con pasos simples, uno a uno, cómo se hace el dibujo del hexágono de presentación de tu problema con Geozebra. Supongo que será fácil.

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    1. Te los cuelgo en otra entrada. Si haces doble clic en la imagen se abre otra ventana que puedes descargarte y guardar.

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  9. Hay que notar que t=f(k) es una función decreciente que tiende a 1 cuando k tiende a infinito; por lo que t=2 es su únco valor entero; que coincide bellamente además con un valor del ángulo entero en grados y divisor de 360º. Dejo a los más expertos que yo, determinar (sin ir probando todos los valores de k hasta llegar a ángulos inferiores a 1 grado) si existe algún otro valor de k que nos de un ángulo entero en grados.

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  10. O mejor y más fácil, qué valor entero de k nos daría un ángulo divisor entero de 360 grados; si lo hubiera; como en el caso k=3; sin ir probando todos los valores del ángulo para los valores enteros de k ? ¿ Es k=3 el único caso posible ?

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  11. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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