miércoles, 31 de diciembre de 2014

¡Feliz 2015!

Que este año 13·5·31 que empieza nos traiga a tod@s muchas alegrías, ilusiones y salud para vivir felices los 365 días que tenemos por delante ;-)




Curva fractal, llamada Curva del Dragón, propuesta en 1967 por Martin Gardner en la revista Scientific American en su columna juegos matemáticos.


martes, 16 de septiembre de 2014

¿Qué día de la semana fue...?

¿Os gustaría saber en qué día de la semana nacisteis, cuántos años faltan para que vuestro cumpleaños sea un sábado o en qué día de la semana empezó el desembarco de Normandía? ¿Si?...Vale, pero antes tenemos que echar un vistazo a nuestro calendario y las reglas que lo forman...el calendario gregoriano, que lleva ese nombre porque fue el Papa Gregorio XIII quien llevó la reforma en 1582.

Pero viajemos un poco más atrás en el tiempo...

Hay varios tipos de calendarios, pero todos están basados en los movimientos de los astros: el Sol, la Tierra y la Luna. El movimiento de rotación de la Tierra sobre su eje da lugar al concepto de día. La rotación de la Luna alrededor de la Tierra da lugar al mes, y finalmente, la rotación de la Tierra alrededor del Sol origina el año. Los diferentes calendarios dan más o menos peso a cada uno de estos tres movimientos, así tenemos: los calendarios solares, los calendarios lunares y los calendarios lunisolares. Los calendarios solares son aquéllos que se basan en la posición del Sol sobre el horizonte, es decir, en la rotación de la Tierra alrededor del Sol. La base de la escala temporal en estos calendarios es el año trópico, es decir, el año de las estaciones. La duración de los meses se aproxima a las fases de la luna, pero se ajusta para tener años de 365 días. Nuestro calendario gregoriano es de este tipo. Los calendarios lunares toman como base de la escala temporal el mes, entendido como el período de tiempo transcurrido entre dos lunas llenas (o dos lunas nuevas). Si bien son más simples, presentan el grave inconveniente de que no tienen una fecha fija para los equinoccios: los cambios de estación se producen en fechas variables. El calendario islámico es un ejemplo. Por último, los calendarios lunisolares son una combinación de los dos tipos anteriores. Por ello son más complejos, aunque a cambio, permiten conocer con exactitud la posición de la Luna en cada fecha. El calendario hebreo es un calendario lunisolar.


La razón última de la complejidad de los calendarios es la inconmensurabilidad de los movimientos astronómicos en que se basan. El año trópico tiene aproximadamente una duración media de 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos, esto es, 365.2422 días. La duración media del mes lunar es de 29 días, 12 horas, 44 minutos y 2.78 segundos, o sea, 29.53059 días. Como no hay ninguna relación sencilla entre los números 365.2422 y 29.53059, no podremos construir calendarios sencillos que se basen en el Sol, la Tierra y la Luna.

Conoce diferentes calendarios y cifras más precisas en este enlace.

Los romanos emplearon inicialmente un calendario lunisolar. Ellos bautizaron los meses con los nombres que todavía hoy se usan en Occidente: Martius, Aprilis, Maius, Iunius, Quintilis, Sextilis, September, October, November, y December. Hacia el siglo VI a.C, Numa Pompilio añadió dos nuevos meses, Ianuarius y Februarius, y fijó el 25 de marzo como fecha del comienzo de la primavera. Cabe observar que febrero era el último mes, y por ello se quedó en sólo 28 días. Sin embargo, los antiguos romanos no tenían un sistema fijo para recuperar el retraso acumulado en su calendario. Los pontífices proclamaban el primer día de cada mes (que ellos llamaban calendas, palabra de la que deriva calendario), y añadían un mes cuando el retraso lo aconsejaba… o cuándo los gobernantes querían alargar sus períodos de mandato. El desorden fue en aumento hasta que Julio César encargó al astrónomo alejandrino Sosígenes la elaboración de un calendario uniforme para todo su Imperio. El calendario juliano se hizo oficial el día 1 de enero del año 708 de la fundación de Roma, es decir, en el año 45 a. C. Para mantener la fecha del equinoccio de primavera cercana al 25 de marzo, se decretó que el año anterior, conocido como el año de la confusión, tuviera 445 días. El calendario juliano, inspirado en el egipcio, era ya muy parecido al nuestro: años de 365 días, divididos en 12 meses de duración desigual, y con un año bisiesto cada cuatro. En honor de Julio César se cambió el nombre del mes Quintilis por Julius.


Julio César, además, estableció el 1 de enero como primer día del año consular, aunque durante mucho tiempo el 25 de marzo siguió considerándose el día de año nuevo. De hecho, hasta bien entrado el siglo XVIII el 25 de marzo fue considerado el primer día del año legal en Inglaterra y las colonias norteamericanas. Tras el asesinato de Julio César un año después de la implantación del calendario juliano, una errónea interpretación de la regla de los años bisiestos hizo que durante un tiempo se considerara bisiesto uno de cada tres años. Augusto corrigió el error omitiendo el 29 de febrero durante tres años bisiestos consecutivos y restableciéndolo en el año 8 d. C. El Senado romano cambió el nombre del mes Sextilis por Augustus para honrar al emperador.

Otro aspecto de este calendario fue que originalmente Febrero tenía 29 días los años normales y 30 los bisiestos. Pero al haber sido los meses del antiguo calendario Quíntilis y Séxtilis renombrados como Julio y Agosto, en honor de Julio César y César Augusto respectivamente, se decidió que el mes de Agosto tuviera 31 días en vez de los 30 que originalmente tenía Séxtilis. Para ello se le quitó un día a Febrero. Para el Senado era muy importante que César Augusto no se considerara inferior a Julio César por lo que “su mes”, debía de tener la misma cantidad de días que “el mes de Julio César”. Otro dato curioso es la nomenclatura del año bisiesto. El año bisiesto se introdujo en el Calendario Juliano, que añadía un día cada cuatro años en febrero, intercalándolo entre los días 23 y 24. Los romanos llamaban al 23 de febrero, “sexto calendas Martii”, es decir, el sexto día antes de marzo, conocido antes como el primer mes del año. Al copiar de los egipcios el ajuste de un día adicional cada cuatro años, tuvieron que repetir en el último día del año, un día más. Recordemos que Febrero era el último mes y repitieron así su día 23, que era el último día. El “sexto calendas”, por lo que a los años en que se repetía (“bis” en latín) ese día se les llamó “bis sextilis”, que nos dio finalmente el nombre de “bisiesto”.

El calendario juliano acumulaba un retraso de 11 minutos y 14 segundos por año, dando lugar a un error de un día cada 128 años. En el concilio de Nicea del año 325 se había fijado el 21 de marzo como fecha de inicio de la primavera, pero en el siglo XIII la primavera empezaba ya el 11 de marzo. Esto afectaba a la celebración de la Pascua, que marca el comienzo del año litúrgico, por lo que la Iglesia se preocupó de subsanar este desfase. El papa Gregorio XIII encomendó la reforma del calendario juliano al médico veronés Luigi Lilio Ghiraldi, que contó con la inestimable ayuda del astrónomo y matemático Cristóbal Clavius.


Para que la primavera volviera a empezar el 21 de marzo, hubo que suprimir los diez días de retraso acumulados a lo largo del primer milenio. El calendario gregoriano entró en vigor el jueves 4 de octubre de 1582, aunque se decretó que el día siguiente era viernes…¡15 de octubre! Se dice que Santa Teresa estuvo diez días sin ser enterrada, aunque en realidad sólo pasaron unas diez horas entre su muerte y su sepultura pues murió justamente el 4 de octubre de 1582.

El calendario gregoriano fue adoptado inmediatamente en España, Italia y Portugal, y se fue incorporando muy lentamente en el resto de naciones. Así, Inglaterra y las colonias norteamericanas no se adaptaron al nuevo calendario hasta el 3 de septiembre de 1752, por lo que tuvieron que suprimir once días en lugar de diez. (Si bien el Día del Libro se celebra el 23 de abril para conmemorar las muertes de Shakespeare y Cervantes, lo cierto es que Shakespeare murió diez días más tarde que Cervantes.) Suecia adoptó el calendario gregoriano poco después (1753). Japón lo hizo en 1873, y Egipto en 1875. China en 1912, Turquía en 1917, Grecia en 1923 y Rusia, tras un primer intento en 1918, adoptó oficialmente el calendario gregoriano en 1940. El último país en adoptarlo fue Corea del Sur, que lo oficializó en 1962.

El nuevo calendario, modificaba la regla de los años bisiestos, suprimiendo tres días civiles de cada cuatrocientos años. La regla es la siguiente: cada año que es exactamente divisible por 4 es un año bisiesto, excepto los años que son exactamente divisibles por 100, estos años son bisiestos sólo si son exactamente divisibles por 400. Si aplicamos estas reglas a los tiempos anteriores a la reforma gregoriana, el año 0 (1 aC) se considera que es exactamente divisible por 4, 100 y 400; por lo tanto, se trata de un año bisiesto.

El calendario gregoriano se basa así en un ciclo de 400 años, que comprende 146097 días. (97 años de 366 días más 303 años de 365 días) Como 146.097 es divisible por 7, el calendario civil gregoriano se repite exactamente después de 400 años. De la división de 146097 por 400 se obtiene una duración media de 365,2425 días por año natural, lo cual es una buena aproximación a la duración del año tropical, solo se acumula un error de un día cerca de 2500 años. Dentro de cada año, las fechas se especifican de acuerdo a la cuenta de los días desde el comienzo del mes. El orden de los meses y el número de días por mes se adoptaron a partir del calendario juliano.

Algoritmo de Zeller

Vamos ahora a construir una función que determine el día de la semana de cualquier fecha en el calendario gregoriano. Asignamos un número a cada día, así tendremos:
Domingo = 0, Lunes = 1, Martes = 2, Miércoles = 3, Jueves = 4, Viernes = 5 y Sábado = 6
Puesto que el mes que varía entre años bisiestos y comunes es febrero, vamos a considerar este mes como el último del año, como los romanos, así nuestro "año inicial" empezará en Marzo. 

Sea a ( a entre cero y  seis) el día de la semana del día 1 de marzo del 0000, entonces el 1 de marzo del 0002  será + 1, puesto que han pasado 365=52*7 + 1 días, es decir 52 semanas y un día. Así el 1 de marzo del 0003 será + 3, y el 1 de marzo del 0004 será + 4 + 1, puesto que este año es bisiesto y tiene un día más. Por tanto por cada año que pasa a aumenta en 1 y si el año es bisiesto aumenta en 2. Así, si pasan x años, tendremos que sumar x y contar otra vez más los años bisiestos, que son [x/4]-[x/100]+[x/400], (donde [...] designa la parte entera) y hacer módulo 7, es decir tomar el resto al dividir por 7.

Si consideramos este año 2014, el número de años bisiestos en estos 2014 años son [2014/4]-[2014/100]+[2014/400]= 503 -20 +5= 488 y por tanto si consideramos el 1 de marzo del 2014 que fue sábado (=6), tendremos la igualdad:
6 = + 2014 + 488 mod 7
6 = a + 2502 mod 7
a = -2496 mod7
a = 3 mod 7

El 1 de marzo del año 0 fue miércoles!!!

Puedes comprobarlo en esta página, donde encontrarás varios convertidores de diversos calendarios.

A partir de este miércoles, podemos determinar el día de la semana del primer día de marzo de cualquier año, y, por la fórmula:
1 de marzo del año y = ( 3 + y + [y/4] - [y/100] + [y/400] ) mod 7

Consideremos ahora ese mes de marzo del año 0000, sabiendo que el día 1 fue miércoles ( = 3), podemos determinar cualquier día de ese mes sin más que sumar 2 al día del mes y hacer módulo 7, por ejemplo el día 10 de marzo del 0000 = ( 2 + 10 ) mod 7 = 5 = viernes

De la misma forma podemos calcular el día de la semana del primer día del mes de abril, sin más que sumar 2+32 y hacer módulo 7, así obtenemos que el 1 de abril del 0000 = 6 = sábado y como el día 1 de abril es sábado ( = 6 ), por el mismo razonamiento que antes, podemos obtener el día de la semana de cualquier día del mes de abril sumando 5 al día del mes y haciendo módulo 7.

Se establecen así los coeficientes de cada mes, j(m), siendo:

j(marzo) = 2
j(abril) = 5
j( mayo ) = 0
j( junio ) = 3
j( julio ) = 5
j(agosto) = 1
j( septiembre) = 4
j(octubre) = 6
j(noviembre) = 2
j(diciembre) = 4
j(enero) = 0
j(febrero) = 3

Y llegamos a la congruencia de Zeller por la que se puede calcular cualquier día de la semana, dada la fecha d/m/y

día de la semana = ( d + j(m) + g(y) ) mod 7

Con g(y) = y + [y/4] - [y/100] + [y/400]  y considerando enero y febrero meses del año anterior a y.

Por ejemplo, para calcular el próximo Día de los Reyes Magos del 2015, consideraremos d=6, m=enero pero y= 2014, considerando enero como penúltimo mes del año 2014, obteniendo:
día de la semana = 6+0+2502 mod 7 = 2 = Martes

Lo curioso es que esos coeficientes, j(m) verifican la fórmula j(m) = [31*m/12] mod 7, aunque Zeller utiliza un factor de 26/10, equivalente a 30,6 días por mes, quizás más sencilla para trabajar. A mi me gusta más 367/12 = 28 + 31/12 = 30,583 días por mes, que se podría considerar más lógico.

Para los estudiantes es sencillo implementar el algoritmo en Scratch, donde evitamos la dificultad de un lenguaje de programación formal.



Ver página del proyecto

Esta entrada participa en la Edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

¿Sabes ya qué día de la semana nació Paul Erdös?




Fuentes consultadas:

viernes, 30 de mayo de 2014

El SET



¿Conoces el juego del SET?...¿No? Entonces antes de seguir leyendo esta entrada debes jugar. Es un juego de lógica muy sencillo, consiste en hacer tríos de cartas. Cada carta tiene cuatro atributos: figura, cantidad, color y fondo, y la única condición que debe verificar un trío es que si alguno de estos atributos se repite en dos cartas, necesariamente tiene que repetirse en las tres y si es distinto en dos, debe ser distinto en las tres.
Tengo que agradecer a @tocamates y @dacilgonz que nos enseñaran a jugar. En la web de tocamates.com nos explican muy bien el juego, inventado por Marsha J. Falco y nos dan algún enlace para jugar on-line. También hay una aplicación para para Ipad

Tanto nos gustó que decidimos incluirlo en los materiales para trabajar las matemáticas en primer ciclo de primaria, (No me des las Matracas), pero modificamos las figuras para que fueran las que trabajamos en geometría: triángulo, cuadrado y círculo, y lo bautizamos como GeoSET. Nos sorprendió el resultado. Los niños entendieron perfectamente el juego sin casi explicación, y encontraban fácilmente la tercera carta que hacía trío. Yo sigo pensando que los niños de 6 años tienen una lógica aplastante, y razonan mucho mejor que muchos adultos. Pero algo sucede entre los 6 años y los 16, porque a esta edad parece que les cuesta mucho más razonar.

Además de las cartas manipulables, hicimos un archivo para jugar en la pizarra digital y hasta programé un pequeño juego en Scracth.


Traslademos ahora este juego como escenario de aprendizaje a nuestra clase de 1º de bachillerato.
Cambiemos la metodología y dejemos que sean ellos quienes vayan descubriendo las matemáticas que están detrás de este maravilloso juego de lógica.
Después de dejarles jugar el primer día para familiarizarse con el juego, proponemos en la segunda sesión que programen el juego en Scracth, entonces es cuando empiezan a surgir las necesidades y los problemas...


La necesidad de una buena notación

En muchos problemas de matemáticas la estrategia de resolución consiste en buscar una buena notación, por ejemplo en la búsqueda de patrones, de secuencias, de series... En este caso ¿cómo representamos matemáticamente cada carta para poder manipularla en Scracth?
En este caso es fácil llegar a una sencilla correspondencia con 4-uplas, (x1,x2,x3,x4), donde x1 represente el primer atributo, sea figuras, tomando el valor 1 si es triángulo, el valor 2 si es cuadrado y el valor 3 si es círculo, x2 el segundo atributo, pongamos cantidad 1, 2 o 3, x3 el tercero atributo, pongamos color tomando el valor 1 si es rojo, 2 para el azúl y 3 para el verde por ejemplo y x4 el último atributo tomando los valores 1, 2 y 3 para fondo vacío, lleno o rayado.
Una vez realizada esta correspondencia biunívoca, cada carta queda perfectamente representada por un conjunto ordenado de 4 números, por ejemplo (1,1,2,3) sería un triángulo azúl rayado.

El concepto de Variaciones, Permutaciones y Combinaciones

La necesidad de una nueva herramienta para contar:

¿Cuántas cartas hay?...¿Y si añadimos un quinto atributo?...¿Y si quitamos un atributo?
¿cómo cuentas las cartas? ¿qué estrategia adoptas? 
Observa la representación numérica ¿importa el orden de los números? ¿Representa la misma carta (1,1,2,3) que (3,2,1,1)?

Añadimos un nivel superior en el juego y colocamos 9 cartas en la mesa para coger libremente tres que hagan SET, ¿Cuántas formas distintas existen de elegir 9 cartas del mazo? ¿Importa ahora el orden de colocar las cartas en la mesa o es la misma situación de juego?¿Cuántas elecciones de tres cartas de esas nueve hay? ¿Importa el orden?...

Probabilidad

¿Qué posibilidades tengo de que al elegir 9 cartas del mazo al azar haya solo un SET? ¿Y de que haya exactamente dos tríos SET? ¿Y si colocamos 12 cartas? ¿Qué posibilidades hay de que no haya ninguna solución? ¿A cuántos tríos SET puede ser común una carta y solo una?...

...

La de posibilidades que tiene este pequeño gran juego!!!

16/06/16 Actualización: No te pierdas el artículo de Raúl Ibañez en:
https://culturacientifica.com/2016/06/15/matematicas-juego-cartas-set-1/

viernes, 18 de abril de 2014

Galois

Uno de mis matemáticos preferidos, Évariste Galois. Otro cartel para colgar en mi clase y ver con Aurasma, siguiendo este canal http://auras.ma/s/gJhnw



Fuentes:
Animaciones de la película 3:19 https://www.youtube.com/watch?v=KLalKfNDAac
Bibliografía de Évariste Galois, texto de Rocío González Díaz: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/05-2-b-galois.html
Audio de "La historia de las Matemáticas ( hacia el infinito y más allá)" en ivoxx: http://www.ivoox.com/historia-matematicas-hacia-infinito-audios-mp3_rf_750605_1.html



miércoles, 26 de febrero de 2014

Multiplicando con los dedos

Hoy, Adrián y Margarita están al cuidado de su prima pequeña de 7 años, Alicia. Sus padres han tenido que salir de viaje y este finde Alicia lo pasará en casa de sus primos. Margarita quiere salir a jugar con su prima, pero antes hay que hacer los deberes...Adrián que es el hermano mayor no les deja salir hasta que no acaben sus obligaciones y Margarita que ya ha acabado con los suyos se ha puesto a leer y no se oye una mosca en casa.
De repente se oye la voz de Alicia
-Jolín, he vuelto a fallar!!
Adrián se acerca sorprendido
-¿Qué pasa Alicia?
-Nada, que no me aprendo la tabla del seis, la del cinco ya me la sé..pero esta del seis no es tan fácil...
-¿Y ya te sabes las tablas de multiplicar hasta la del cinco?
-¡Sí, claro! Hasta el cinco me las sé todas y no fallo ni una...
Entonces voy a enseñarte un truquito para el resto de las tablas, y lo único que necesitas son los dedos de las manos y sumar algún número...
-Margarita que estaba escuchando ha dejado el libro y se ha acercado a mirar a su hermano mayor...es una cajita de sorpresas Adrián...

-Lo vamos a hacer con un ejemplo-explica Adrián- Veamos por ejemplo 6x7. En una mano doblas 6-5=1 dedo, y en la otra doblas 7-5=2 dedos.

¿Cuántos dedos has doblado?
-Tres-gritan al unísono las dos niñas
-Bien, pues ese número representa decenas.
-Lo multiplicas por 10 -le dice Margarita a su prima Alicia- es fácil, solo tienes que añadir un cero
-30, dice Alicia...bien y ahora?

-Ahora solo tienes que multiplicar los dedos que tienes levantados, y esas tablas ya te las sabes, Alicia- dice Adrián guiñando un ojo a su prima.
-Cuatro por tres son doce, contesta Alicia sonriendo.
-Bien, ahora solo tienes que sumar doce más treinta
-42
- Sí, seis por siete son cuarenta y dos, dice sorprendida Margarita- Probemos con otra, Adrián, por ejemplo 8x9

- Vale, pues doblamos 8-5=3 dedos en una mano y 9-5= 4 dedos en la otra.


-¿Cuántos dedos has doblado?
-7 dedos, 70
-Bien, y ahora es fácil multiplicar dos por uno- sonrie Adrián
-suman setenta y dos! 8x9=72.
- ¡Halaaaa¡ Ahora ya me sé todas las tablas- grita contenta Alicia-
Margarita, que ya va practicando el álgebra le pregunta a su hermano por una explicación más matemática, porque le ha sorprendido mucho el truco.

Mira Margarita, y Adrian coge su pizarrín y escribe:



Margarita empezaba a entender el truco...-vamos a demostrarlo en general-, y coge el pizarrín de su hermano.
-Supongamos que a y b son mayores que cinco, porque si a o b fueran cinco o menor que cinco, ya sabríamos multiplicar- dice Margarita guiñando un ojo a su hermano. Entonces...


-Entonces c más d son los dedos que me quedan levantados...¿verdad?
-¡Muy bien, Margarita!
-Y ahora es fácil:



-Dedos doblados por diez más la multiplicación de los dedos levantados...no te olvides Alicia!


Actividad en geogebra.

Esta entrada se la dedico con todo mi cariño a JoseÁngel Murcia, más conocido por @tocamates, por venir a Ciudad Rodrigo a enseñarnos tantas cosas chulis...


Esta entrada participa en la Edición 5.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.


miércoles, 29 de enero de 2014

La Habitación de Fermat

En esta ocasión y con motivo de la celebración del carnaval de matemáticas, en el que esta entrada participa, he invitado a Javier y José María a que nos expliquen qué es eso de La Habitación de Fermat.



Se trata de un videojuego de resolución de problemas basado en la película homónima. Tiene una maqueta incorporada que representa una habitación cuyo tamaño va menguando si el jugador no responde correctamente los enigmas planteados. Sus objetivos iniciales eran estimular procesos de toma de decisiones, mejorar la adquisición de las competencias básicas y fomentar el gusto por las matemáticas.

Actualmente, se ha ampliado a un proyecto de colaboración escolar en el que los alumnos proponen nuevos argumentos y diseños, crean bandas sonoras, ponen a prueba las nuevas actividades, ...

La versión web del juego dispone de ocho niveles y un almacén de acertijos, y está en constante evolución. No somos programadores y no podemos llevar a cabo algunas de nuestras ideas y de las propuestas que recibimos, por lo que estamos abiertos a nuevas colaboraciones.

En los inicios nos ayudó el programa Medialab y el equipo de colaboradores que surgió de la convocatoria "Jugando con Números"
Para una descripción más amplia del proyecto, puedes consultar nuestra página web.



Esta entrada participa en la edición 4.1231056256 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Cuentos Cuánticos

P.D. Un reto para que jueguen esta noche ;-))

viernes, 24 de enero de 2014

Isaac Newton

Con la inestimable ayuda de Juan Carlos Guerra, @juancarikt, que ha puesto la voz a Isaac Newton. Graciass!!
Otro cartel para mi colección de personajes históricos.


Para ver en el móvil con Layar o Aurasma (este canal)

El "overlay":


sábado, 11 de enero de 2014

Retos

Empiezo mi colección de retos para hacer un librito en realidad aumentada, la idea es que la solución sea el "overlay" del enunciado. Este será el primero, uno facilito para todos los públicos:


La solución escaneando la imagen en tu móvil con Aurasma o Layar.

viernes, 10 de enero de 2014

La búsqueda de un sueño

Antonio Pérez Sanz se jubila y nos regala su última clase.



¿Qué son las matemáticas...? La búsqueda de un sueño

Mil gracias Antonio!!! por todo tu trabajo y tu gran labor divulgativa, por transmitir esa pasión y enseñar las "verdaderas", las mejores matemáticas en el aula.

jueves, 2 de enero de 2014

Gauss en RA

Sigo con la decoración de mi aula donde habrá un rinconcito especial dedicado a la historia de las matemáticas. El primero en llegar ha sido Gauss, retratado por Jensen. Ver con Layar o Aurasma en tu dispositivo móvil.

Public Domain. Fuente

El overlay: