viernes, 24 de abril de 2015

Un problema +

Hoy, echando un vistazo a twiter, me he encontrado con este tuit:


El problema dice así:
Una cadena se enrolla simétricamente alrededor de una varilla circular. La cadena da exactamente 4 vueltas alrededor de la varilla . La circunferencia de la varilla es de 4 cm y su longitud es 12 cm.
Encuentra la longitud de la cadena . Muestra todo tu trabajo.

Si este problema se lo planteamos a un estudiante universitario con conocimientos avanzados en matemáticas, acostumbrado a trabajar con ecuaciones en el espacio, seguramente abordaría el problema de la siguiente manera:

1.- Calculo las ecuaciones paramétricas de la curva



2.- Calculo la longitud de la curva




Este problema es simple. No requiere razonamiento, pues se reduce a aplicar una fórmula, la longitud de una curva parametrizada. Los cálculos tampoco son complicados. El estudiante no tiene que aplicar ninguna estrategia para resolver este problema.

Ahora bien, este problema está dirigido a un alumno de bachillerato, incluso un alumno de secundaria podría resolverlo. En este caso, sí se requiere razonamiento y utilizar una estrategia para resolver el problema, puesto que no es aplicar una fórmula.

Una estrategia de resolución de problemas es reducir el problema a otro más "pequeño". En este caso la simetría de la curva nos permite hacerlo. Solo tendríamos que calcular la longitud de una vuelta y multiplicar por cuatro.


Consideremos por tanto un cilindro de 3 cm de largo. Sigamos con nuestra estrategia, ¿podemos reducir el problema a otro más "pequeño"?

Vamos a intentar trasladar el problema en el espacio a un problema en el plano, reduciendo así la dificultad. Veamos el desarrollo plano de nuestro cilindro y nuestra curva. Cortemos por una línea perpendicular a la base en el punto donde comienza la curva. ¿Qué obtenemos?

Obtenemos un rectángulo y nuestra curva ahora resulta una diagonal!!


Ahora, nuestro problema es muy sencillo, ¿no? Basta aplicar el Teorema de Pitágoras y calcular esa longitud.


Y únicamente queda multiplicar por 4, para obtener 20 cm de longitud de la curva.

Hemos visto dos formas distintas de resolver el problema. Las dos perfectamente válidas..., pero yo me quedo con la segunda ;-))

Esta entrada participa en la Edición 6.3: Teorema de Pitágoras del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

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