martes, 27 de diciembre de 2016

Duelos matemáticos en el Renacimiento Italiano

La historia de las matemáticas está llena de episodios apasionantes, uno de ellos es, sin duda, la aventura de la ecuación cúbica: del cubo y las cosas igual al número.

Durante el siglo XV se ha ido difundiendo y extendiendo el uso del álgebra, la ciencia llegada a Occidente a través de los árabes, se clarifica y se mejora. Es tiempo de Maestro Dardi de Pisa, Maestro Benedetto de Florencia, Luca Pacioli...
Pero un problema se resiste, el que atañe al cubo, el cuadrado, la cosa y el número, la resolución de la ecuación cúbica.

La universidad en el siglo XVI es muy diferente a nuestra universidad. Por entonces cualquiera podía ser desafiado a una disputa pública, el adversario proponía preguntas y problemas, y de manera pública, se llevaba a cabo un debate y al finalizar este, había siempre un vencedor y un vencido. Muchas veces había apuestas de por medio, incluso se ponía en juego la cátedra en la universidad o la posibilidad de conseguirla. En todo caso, uno se jugaba el prestigio personal y su reputación. Si el enfrentamiento era entre dos reputados y doctos profesores o aspirantes a serlo, el debate podía convertirse en un acontecimiento de relevancia social. Toda la ciudad opinaba y, de alguna manera, apostaba por uno y otro rival. Así, no es de extrañar que muchos descubrimientos se guardaran como oro en paño, como as en la manga para ganar este tipo de duelos.

Nos situamos en Bolonia, la sabia, la ciudad más docta de la Italia del siglo XVI

Un profesor de la Universidad de Bolonia llamado Scipione del Ferro (1465-1526) encontró la fórmula que hoy en día se sigue utilizando para resolver la ecuación:

 



No se sabe cómo lo logró, puesto que no hay ninguna información sobre este descubrimiento, quizá la tomó de algún escritor árabe o quizá fue él mismo quién la descubrió. Pudo ser sobre el año 1506 (según Tartaglia) o 1515 (según Cardano). El caso es que no la publicó, no le contó a nadie su descubrimiento hasta poco antes de morir, que compartió el hallazgo con dos personas: su yerno y sucesor en la cátedra de la universidad, Annibale della Nave, y uno de sus alumnos, el veneciano Antonio María del Fiore.

Del Fiore vuelve a Venecia, la ciudad comercial por excelencia. Allí se había trasladado Niccolo Tartaglia en 1534, desde la ciudad de Brescia donde había nacido. Tartaglia da clases de aritmética en la escuela de ábaco de la iglesia de San Zanipolo y además tiene cierta fama pues ha tenido éxito en algunos trabajos para los ingenieros del Arsenal veneciano.



Surgió el debate entre ambos y se planteó la disputa. Cada uno de los contrincantes planteó al otro treinta problemas. Los de Tartaglia abordaban una variedad de temas aritméticos, geométricos y algebraicos. Los de Del Fiore correspondían todos al mismo patrón: ecuaciones de tercer grado sin termino de segundo grado. El vencedor pagaría al perdedor y a sus amigos una comida, podrían acudir tantos amigos como problemas hubiera resuelto el ganador.

La noche del 12 de febrero de 1535, Niccolo Tartaglia, después de llevar cuarenta y ocho días encerrado, leyendo y releyendo la lista de problemas planteados por su rival, consigue un método operativo que resuelve de un tirón, todos los problemas de la lista.

Del Fiore pierde estrepitosamente el debate. No es capaz de resolver ni uno solo de los problemas de Tartaglia. A partir de este momento la fama de Niccolo llega a importantes ciudades del norte de Italia. Llega a oídos de Gerolamo Cardano.



En 1539, Gerolamo Cardano está terminando de escribir su Practica Arithmetica Generalis, y considera interesante incluir en él, la fórmula de Tartaglia. Pide al librero Zuantonio da Bassano, que es conocido de ambos, que se encuentre con Tartaglia en Venecia.

Eso hace el 2 de enero de 1539, pidiendo a Tartaglia, en nombre de un hombre respetable, médico de Milán, llamado Messer Gerolamo Cardano, que le cuente la forma de resolver las ecuaciones del cubo y la cosa igual a un número para poder publicarla en su libro, reconociendo a Tartaglia su autoría.

Tartaglia se niega,  "Dile a su Excelencia que deberá disculparme, pero que cuando decida hacer pública mi invención será en mi propia obra y no a través de la de otros..." y lo hace en varias ocasiones, ya que Cardano insiste.

Sin embargo consigue convencer a Tartaglia de aceptar una invitación para pasar unos días con él en Milán expresando interés en sus instrumentos de artillería, y conocer allí al Marqués del Vasto (noble español y militar de cierto prestigio), en el castillo de la vecina localidad de Vigevano. 

Las presiones de Cardano sobre Tartaglia son grandes. 

"Juro por los Santos Evangelios y por mi fe como caballero no hacer públicos tus descubrimientos, si me los cuentas; del mismo modo prometo y aseguro por mi fe de buen cristiano que los escribiré en cifra, de manera que nadie que los lea tras mi muerte, pueda comprenderlos. Si yo, en opinión vuestra, soy un hombre honesto, contádmelo y, si no es así, demos entonces por terminada esta conversación."

Finalmente Tartaglia cede en comunicar su fórmula.

"Si no confiara en un juramento como el vuestro, entonces, desde luego, yo mismo merecería ser considerado un ateo"

En este momento aparece otro personaje importante en esta historia, Ludovico Ferrari, que es sirviente en casa de Cardano y su secretario personal, con él aprende griego, latín y matemáticas. Tiene solo 17 años. Ferrari es testigo de la escena entre Tartaglia y Cardano. Tartaglia comunica su método operativo mediante unas rimas que había escrito para facilitar su memorización:

Quando che'l cubo con le cose appresso
se agguaglia a qualche numero discreto
trovan dui altri differenti in esso.

Da poi terrai questo per consueto
che il lor produtto sempre sia eguale
al terzo cubo delle cose neto,

El residuo poi suo generale
delli los lati cubi ben sottratti
varra la tua cosa principale.

...

Tratemos de traducir conservando al máximo su originalidad:

Cuando está el cubo con las cosas preso
y se iguala a algún número discreto
busca otros dos que difieran en eso

Después tú harás esto que te espeto
que su producto siempre sea igual
al tercio cubo de la cosa neto

Después el resultado general
de sus lados cúbicos bien restados
te dará a ti la cosa principal.

...

Los dos primeros versos equivalen a plantear la ecuación:


El tercero equivale a establecer otros dos números que difieran en q precisamente.


Los versos 4, 5 y 6 se refieren a:


Los tres finales dan la solución:





Ese mismo año Cardano envía a Tartaglia una copia de su libro Practica Arithmetica, recien salido de la imprenta y sin ninguna referencia a la ecuación de tercer grado, lo que debe dejar bastante tranquilo a Tartaglia.

Cardano estudia con profundidad la fórmula de Tartaglia, seguramente ayudado por su alumno Ludovico Ferrari. Logran resolver la ecuación general de tercer grado, es decir, la completa, con su término cuadrado, reduciéndola mediante un cambio de variable al caso reducido.


Sin embargo en este proceso se encuentran con dificultades, teniendo en cuenta que en aquella época ni siquiera los números negativos eran aceptados, aparecían raíces cuadradas de radicando negativo, incluso en ecuaciones que se planteaban conociendo de antemano sus soluciones enteras.

Por tres veces escribe Cardano a Tartaglia pidiendo explicación. La última el 4 de agosto de 1539, pero Tartaglia no le da ninguna respuesta.

La historia se traslada ahora a Bolonia, allí viajaron Cardano y Ferrari en 1542, buscando respuestas de la mano de Annibale della Nave, el cual les permite revisar los papeles de Del Ferro. Cuál es la sorpresa de ambos que no encuentran lo que buscan sino directamente el método operativo para resolver la ecuación reducida de tercer grado. Este método era el mismo que Tartaglia les ha comunicado, por tanto no es este su primer descubridor, sino Del Ferro. Ahora, pueden publicar la fórmula, esta que acaban de encontrar y así Cardano no incumple su juramento a Tartaglia.

Cardano publica en 1545 su Ars Magna. En esta obra aparece el capítulo del cubo y las cosas igual al número. Además de explicar todas las formas posibles de una ecuación de tercer grado, se incluyen también las ecuaciones de cuarto grado que descubre Ferrari, reduciéndolas, mediante cierta estrategia, a ecuaciones de tercer grado. El conjunto de los avances que este libro aportaba es incalculable.

En el capítulo XI Cardano escribe:

"Scipione del Ferro, de Bolonia, hace más de 30 años inventó esta regla y la comunicó a Antonio María del Fior, de Venecia, quién celebró un certamen con Niccolo Tartaglia, de Brescia, lo que dio ocasión a que Niccolo por sí mismo la (re)descubriera, el cual me la dio a mi, suprimida la demostración, como consecuencia de mis ruegos. Pertrechado de este auxilio, busque demostración por varias vías, lo que fue muy difícil"

Por dos veces agradece a su amigo Niccolo haberle dado la fórmula. Y aún lo cita en un capítulo más. 

De poco consuelo debieron servir a Tartaglia todos los reconocimientos de Cardano. El hecho para él era que Cardano había incumplido su juramento, ¡le había traicionado!

Continuará...

---fin de la primera parte---


Esta entrada participa en la Edición 7.9 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog de José Luis Muñoz.



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