sábado, 26 de noviembre de 2016

Ábaco de Napier


Uno de los avances que trajo John Napier (1550-1617) dentro de las matemáticas, fueron los logaritmos y sus tablas que simplificaban bastante los cálculos, teniendo en cuenta que en esa época ¡no existían calculadoras!.

Durante la Edad Media y el Renacimiento estuvo muy difundido por Europa el uso de tableros o paños cuadriculados con fines de cálculo. Son muchas las palabras, como cheque o banco que tienen su origen en estos tableros.


Uno muy conocido elaborado por Napier, son los "huesos de Napier" o ábaco neperiano construido con regletas que facilitan los cálculos, pero en su Rhabdologia, obra impresa a finales de 1617 donde explica este ábaco, también aparece un curioso método de cálculo basado en ir moviendo cuentas sobre un tablero de ajedrez.

Este método no es solo una agradable recreación sino también un dispositivo didáctico estupendo. Es la primera computadora binaria del mundo, nacida casi cien años antes de que Leibniz explicase cómo calcular con números binarios. Aunque Napier no llegó a expresar números explícitamente en notación binaria, veremos que utilizar su tabla de recuento equivale a hacerlo así.

El tablero de recuento neperiano es una cuadrícula de tamaño arbitrario, aunque a los alumnos les gusta mucho más utilizar un tablero de ajedrez y fichas de damas, puede realizarse en un papel cualquiera donde dibujemos una rejilla y utilizar cualquier ficha, o incluso trozos de papel.
Las filas y las columnas las rotulamos con las sucesivas potencias de 2.

Veamos las sumas:


Veamos las restas:



El algoritmo de la multiplicación que es una maravilla:



El algoritmo para la división es recorrer el camino inverso, se presentan algunas complicaciones que hacen difícil explicar el proceso, pero en la práctica se aprende rápidamente a hacerlo.


Napier también explica un procedimiento para calcular raíces cuadradas de números enteros, utilizando este tablero, con un procedimiento similar. Antes de contártelo... ¿Te atreverías a intentarlo tú?




“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes”




4 comentarios:

  1. Muchas gracias por tu post. Conseguiste que desempolve mi viejo tablero de GO para usarlo de calculadora.

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  2. Hola Ana. Mira a ver esto si no he omitido nada.

    3, 5, 239, 199, 3415447361,
    Inspirado en la OIES estadounidense de Neil Sloane, he confeccionado esta sucesión que define al menor primo de la menor cadena de longitud máxima de números primos separados por una misma distancia minima.
    Así, el 3 es el menor numero de la menor cadena de primos separados una distancia d = 2 ( primos gemelos) y que tiene una longitud l = 3 : (3, 5, 7). Todas las demás tienen longitud 2. La siguiente mayor es (11, 13).
    5 es el menor primo de la menor cadena de primos de longitud 5 , separados una distancia d = 6 : (5, 11, 17, 23, 29). Todas las demás cadenas con esa distancia tienen una longitud de 4 y la siguiente mayor es : (41, 47, 53, 59).
    La distancia d ha de ser , para longitudes máximas de l = 4, 0 mod 3 y (-1 mod 5 o 1 mod 5), es decir 9 mod 15 o 6 mod 15, y ha de ser par. Tomaremos siempre la mínima, 6 en este caso.La longitud de la cadena no puede ser de más de 4 ( con la excepción de la primera), porque el quinto ( o el primero) serían divisibles por 5.
    La longitud de las cadenas, con la excepción de las dos primeras, será de p - 1, para cada primo p. La siguiente tendrá una longitud máxima de 7 - 1 = 6 y su distancia habrá de ser 0 mod 3 y O mod 5 y (-1 mod 7 o 1 mod 7). De esta manera los primos (p, p+d, p+2d, ..., p+5d) seran, si p y d son -1 mod 7, (-1, -2, ..., -6) mod 7, o en positivo si p y d son 1 mod 7.
    Obtenemos la distancia mínima d = 120. Y el menor primo de la menor cadena es 239 : (239, 359, 479, 599, 719, 839). Hay un primo aún menor: 83, pero con una distancia mayor de d = 300 : (83, 383, 683, 983, 1283, 1583).
    Para una longitud de 10 (11 - 1), la distancia mínima ha de ser 0 mod 105 y (-1 o 1 mod 11). Obtenemos d = 210 y el menor primo es 199, siendo la menor cadena : (199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089).

    Para cadenas de longitud máxima 12, obtenemos d = 6930 y el menor primo de la menor cadena es el 3415447361.

    Vemos que la sucesión es extraña, infinita, aunque sin poder demostrarlo, con valores que parecen casi más bien aleatorios, en comparación con las sucesiones matemáticas más comunes.
    Para una longitud máxima de 16, la distancia minima es 60060 y mi ordenador medio viejo lleva más de una hora buscando la menor cadena.


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  3. http://oeis.org/A033188

    Esta es la sucesión correcta. Había distancias inferiores a algunas de las que yo tomé con demasiada prisa. Por ejemplo, la menor distancia para el menor primo que inicia la menor progresión aritmetica de 6 primos, es 30:
    7, 37, 67, 97, 127, 157
    y 150 para una longitud de 7 : 7, 157, 307, 457, 607, 757, 757, 907.
    A partir de aquí la búsqueda se hace muy difícil y los primos menores de cada longitud aumentan cada vez más. Escribí una criba para hallar la longitud 16 y lo d
    eje después de más de 20 horas de computación llegando hasta solo 10^13.
    Los que han hallado esta sucesión son auténticos especialistas a nivel mundial en computación matemática con números muy grandes.

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