Multiplicando con los dedos

Hoy, Adrián y Margarita están al cuidado de su prima pequeña de 7 años, Alicia. Sus padres han tenido que salir de viaje y este finde Alicia lo pasará en casa de sus primos. Margarita quiere salir a jugar con su prima, pero antes hay que hacer los deberes...Adrián que es el hermano mayor no les deja salir hasta que no acaben sus obligaciones y Margarita que ya ha acabado con los suyos se ha puesto a leer y no se oye una mosca en casa.
De repente se oye la voz de Alicia
-Jolín, he vuelto a fallar!!
Adrián se acerca sorprendido
-¿Qué pasa Alicia?
-Nada, que no me aprendo la tabla del seis, la del cinco ya me la sé..pero esta del seis no es tan fácil...
-¿Y ya te sabes las tablas de multiplicar hasta la del cinco?
-¡Sí, claro! Hasta el cinco me las sé todas y no fallo ni una...
Entonces voy a enseñarte un truquito para el resto de las tablas, y lo único que necesitas son los dedos de las manos y sumar algún número...
-Margarita que estaba escuchando ha dejado el libro y se ha acercado a mirar a su hermano mayor...es una cajita de sorpresas Adrián...

-Lo vamos a hacer con un ejemplo-explica Adrián- Veamos por ejemplo 6x7. En una mano doblas 6-5=1 dedo, y en la otra doblas 7-5=2 dedos.

¿Cuántos dedos has doblado?
-Tres-gritan al unísono las dos niñas
-Bien, pues ese número representa decenas.
-Lo multiplicas por 10 -le dice Margarita a su prima Alicia- es fácil, solo tienes que añadir un cero
-30, dice Alicia...bien y ahora?

-Ahora solo tienes que multiplicar los dedos que tienes levantados, y esas tablas ya te las sabes, Alicia- dice Adrián guiñando un ojo a su prima.
-Cuatro por tres son doce, contesta Alicia sonriendo.
-Bien, ahora solo tienes que sumar doce más treinta
-42
- Sí, seis por siete son cuarenta y dos, dice sorprendida Margarita- Probemos con otra, Adrián, por ejemplo 8x9

- Vale, pues doblamos 8-5=3 dedos en una mano y 9-5= 4 dedos en la otra.

-¿Cuántos dedos has doblado?
-7 dedos, 70
-Bien, y ahora es fácil multiplicar dos por uno- sonrie Adrián
-suman setenta y dos! 8x9=72.
- ¡Halaaaa¡ Ahora ya me sé todas las tablas- grita contenta Alicia-
Margarita, que ya va practicando el álgebra le pregunta a su hermano por una explicación más matemática, porque le ha sorprendido mucho el truco.

Mira Margarita, y Adrian coge su pizarrín y escribe:

Margarita empezaba a entender el truco...-vamos a demostrarlo en general-, y coge el pizarrín de su hermano.
-Supongamos que a y b son mayores que cinco, porque si a o b fueran cinco o menor que cinco, ya sabríamos multiplicar- dice Margarita guiñando un ojo a su hermano. Entonces...

-Entonces c más d son los dedos que me quedan levantados...¿verdad?
-¡Muy bien, Margarita!
-Y ahora es fácil:

-Dedos doblados por diez más la multiplicación de los dedos levantados...no te olvides Alicia!


Actividad en geogebra.

Esta entrada se la dedico con todo mi cariño a JoseÁngel Murcia, más conocido por @tocamates, por venir a Ciudad Rodrigo a enseñarnos tantas cosas chulis...


Esta entrada participa en la Edición 5.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Jugando con multiplicaciones

9:30. a.m., Adrián abre los ojos. El sol entra con fuerza por la ventana, iluminando toda la habitación. El calendario señala que hoy es lunes. Adrián sonrie...es un lunes muy especial. Pasará el día en el campo con Margarita y su padre.
Se levanta dando un salto y va directo a la cocina, piensa en hacer unas deliciosas tortitas con miel para él y Margarita. Entra en la cocina y ve con sorpresa a su hermana concentrada en un cuadernillo de cuentas.

- No puedo creer que te hayas levantado antes que yo!
- Buenos días Adrián- le contesta Margarita, - Ayer no pude terminar mis ejercicios y hoy quiero acabarlos antes de que venga papá.
Adrián besa a su hermana con dulzura.
- Bien pequeñina, haré unas tortitas mientras tu acabas tus cuentas- dice Adrián mientras mira de reojo el cuadernillo de Margarita; está lleno de multiplicaciones y fija su atención en algunas de ellas: 88x96, 83x98, 76x87.. y en la hoja siguiente,..105x117, 1026x1003...
- Margarita, yo conozco un truco para esas multiplicaciones...
-¿En serio?- ...a Margarita se le ilumina la cara...- Me encantan tus trucos, Adrián, cuéntame porfi, porfi, porfi!
Adrián escribe en su pizarrín.-Mira Margarita-

-Qué rápido Adrián! Explícame eso que has hecho-
- Verás, Margarita, cuando los números son próximos a cien, pero mayores que cien, puedes operar de esta forma: En una columna escribes los números y en otra columna la diferencia con cien. Ahora solo tienes que multiplicar los números de la segunda columna ( mucho más pequeños ) y hacer una suma cruzada con cualquiera de los dos números, poniendo el resultado en la primera columna...y voilá...solo juntas los números y ya tienes el resultado.
Margarita observa con atención..
- Voy a probar yo... 123 x 107...veamos

-Cuidado Margarita-dice su hermano Adrián- si en la segunda columna te pasas de 99, la cifra de las centenas debes sumársela a la cantidad de la primera columna.
-Ah!, entonces tengo que 123 x 107 = 13161
-Muy bien! Perfecto.

A Adrián, ya sabéis que le encanta el álgebra y jugar con números. Rellena su pizarrín con la explicación algebraica: (100 + a) · (100 + b) = 100 · (100 + a + b) + a·b

Margarita, concentrada en sus multiplicaciones le pregunta a su hermano

-Y si los números son más pequeños que cien?

- Exactamente igual, Margarita, salvo que la suma cruzada es una resta...Observa.

Adrián escribe en su pizarrín el desarrollo algebraico: (100 - a) · (100 - b) = 100(100 - a - b) + ab

Adrián deja su pizarrín y se pone manos a la obra. Mezcla harina, huevos y leche...Las tortitas no tardan en hacerse mientras Margarita sigue con sus cuentas.
Al cabo de un rato le pregunta a su hermano.
-Y si un número es mayor que cien y el otro es menor que cien?
-En ese caso, princesita, tendrás que hacer una resta... Fíjate

-A ver si lo he entendido..- dice Margarita- al multiplicar 98 por 107 lo que tenemos son 105 centenas menos 14 unidades?
-Si! -responde Adrián- eso es!
Adrián está disfrutando de las tortitas y contempla con admiración el trabajo de su hermana.
Margarita ha terminado una hoja y continua en la siguiente donde aparecen multiplicaciones de números próximos a mil.
-Creo que ya sé cómo voy a  hacer estas multiplicaciones- dice entusiasmada

-Y cómo la primera columna son unidades de millar, tengo que añadir tres cifras, si la suma de la segunda columna no llega a las centenas, entonces añado un cero.

- Estupendo Margarita!
-Yupiii! ¡Qué rápido voy!...Me encantan tus trucos Adrián!

Mientras Margarita se divertía haciendo sus "productos trucados", Adrián , que ya había terminado su magnífico desayuno, limpiaba la cocina y dejaba todo recogido.
Papá llegó en ese momento. Hoy iban a pasarlo bien.
-Papi!!- grito Margarita loca de contenta. Corrió a sus brazos y le besó.
Adrián y su padre se guiñaron un ojo. El sol lucía en el cielo, era hora de salir y disfrutar de él.

Nota al lector: Método védico descrito por Swami Bharati Krihna Tirthaji (1884-1960) en su libro "Vedic Mathemathics" publicado en 1865, donde explica el segundo de los dieciseis sutras: Todo a partir del nueve y lo último a partir del diez. Nikhilam Sutra.

Esta entrada participa en la edición 3.14 del carnaval de matemáticas, cuyo anfitrión es en esta ocasión Hablando de ciencia. A disfrutar carnavaleros!! y feliz día a todos los papis!!

Jugando con chinchetas

Está lloviendo. Hoy Margarita no sale al parque. Ha sacado su juego de chinchetas y está muy entretenida...su hermano mayor, Adrián, la observa con atención.


Ha colocado una chincheta roja, después dos más, formando un perfecto triángulo. Ha cambiado de color al amarillo y ha seguido colocando tres chinchetas más y con cuatro azules ha seguido construyendo su triángulo, cada vez más grande, ahora elige cinco verdes y continua...

Si tienes un Ipad, hay una aplicación gratuita para jugar.

-¡Números triangulares! -exclama asombrado Adrián-.
-¿Qué es eso? -responde Margarita-.
-El número de chinchetas que necesitas para dibujar un triángulo. Mira, para el triángulo de lado cinco, necesitas 1+2+3+4+5=15 chinchetas.
-Ah! -contesta Margarita- entonces para dibujar un triángulo de lado 10, necesitaría 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 chinchetas?
-Eso es, -responde Adrián- Yo conozco un truco para sumar super-rápido números consecutivos. Mira Margarita- Adrián saca su pizarrín y enseña a Margarita su truco: Sumo dos veces la misma cantidad, pero agrupando cada número con su simétrico, así obtengo siempre el mismo número.

Ahora, solamente tengo que multiplicar 10 veces por 11, tengo 110, y como he sumado dos veces la misma cantidad, ahora lo divido entre dos, 110/2 = 55. ¿Ves que rápido?
-Si...eres un fenómeno hermanito...Y si quiero llegar al  triángulo con 15 chinchetas de lado ¿Cuántas necesito?
-1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 ¿Cuánto es, Margarita?
-Veamos, si lo hago con tu truco, tendré 15 veces 16, que son 240, ahora lo divido entre dos y obtengo 120 chinchetas!...creo que tengo suficientes...
Margarita se pasa un buen rato colocando chinchetas...¡perfecto!-exclama al terminar-
-Ahora voy a pintar cuadrados.-dice Margarita-

Margarita empieza colocando una chincheta, después añade 3 para formar el cuadrado de lado 2, continua añadiendo 5 chinchetas para formar el cuadrado de lado 3, después añade 7 chinchetas para dibujar el cuadrado de lado 4, y por último 9 más para el cuadrado de lado 5.
-Mira Adrián- le dice a su hermano.
-Muy bien, Margarita. Fíjate que ahora estas sumando los números impares.
-¡Es verdad, Adrián! 1+3+5+7+9= 25 chinchetas necesito para construir el cuadrado de lado 5.
-¿Sabes cuántas chinchetas necesitas para llegar al cuadrado de lado 10?
-Veamos, tengo que sumar 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19, y si utilizo tu truco, tengo 10 veces 20, es decir 200, que dividido por dos son 100 chinchetas!...anda! claro! pero si es más rápido calcular 10 al cuadrado...jejejeje.-Se rie Margarita-
-Observa el cuadrado, Margarita. - Le dice su hermano- Podemos separarlo en dos triángulos

-Si!!, tenemos un triángulo de lado 5, y otro triángulo de lado 4. -Grita entusiasmada Margarita-
Adrián escribe en su pizarrín. En general, si llamamos Cn a los números cuadrados de lado n, y Tn a los números triangulares de lado n, tenemos:

A Adrián le gusta jugar con el álgebra y descubrir algunas cosas curiosas.
Entonces...-dice Adrián- tendrá que ser cierta la igualdad:

-No empieces con tus letrajas que me aburres...-le dice Margarita- Yo voy a seguir pintando con mis chinchetas...ahora voy a dibujar hexágonos que me quedan chuliss!!.

Margarita empieza con una chincheta, añade 5 para formar el hexágono, ahora elige chinchetas amarillas y coloca 10 para dibujar el hexágono de lado 3, después elige 13 chinchetas de color azul para dibujar el siguiente hexágono de lado 4, y por último coge 17 chinchetas para construir el hexágono de lado 5.

-¡Qué bonitos hexágonos, Margarita!, fíjate en las chinchetas que vas sumando...de los seis lados que tiene el hexágono, dos son fijos, los de la esquina inferior izquierda (las chinchetas rojas) y añades para formar los otros cuatro lados. En el de lado cinco, si sumamos cinco chinchetas por cada lado ( 5 x 4) estás contando dos veces los vértices, luego restamos tres, por los tres vértices que forman los cuatro lados. En resumen coges  4 x 5 - 3=17 chinchetas verdes. ¿Cuántas cogerías para dibujar el siguiente hexágono de seis lados?

-Muy fácil! - dice Margarita- 4 x 6 - 3 = 21 chinchetas tendría que sumar.
-Fenomenal, Margarita! y ¿Cuántas añadirías para el siguiente hexágono de siete chinchetas de lado?
-Pues 4 x 7 - 3 = 25 más.
-Entonces, Margarita, ¿Cuántas chinchetas necesitarías para llegar al hexágono de siete chinchetas de lado?
- Solo tengo que sumar: 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 y con el truco que me has enseñado tendría 7 veces 26, que son 182 y dividido por dos, 91 chinchetas!!

-¿Y para el hexágono de ocho chinchetas de lado?
- Pues tengo que sumar 4 x 8 - 3 = 29, luego 91+29=120 chinchetas!!

Margarita sigue dibujando hexágonos hasta llegar a colocar las 120 chinchetas, mientras Adrián escribe en su pizarrín. En general para construir el número hexagonal de lado n:

-¿Adrián?...
-Dime margarita
-¿También podemos dividir los hexágonos en triángulos?
-¡Por supuesto que si, Margarita!...Veamos, ¿Cuántos puedes dibujar?
-Cojo tres chinchetas del hexágono rojo para completar un triángulo del mismo número de chinchetas y me quedan 6 -3 = 3 vértices para completar tres triángulos de lado una chincheta menos. Mira Adrián.

-Muy bien, Margarita!!
Adrián escribe en su pizarrín, si llamamos Hn al número hexagonal de lado n, tenemos:

 

Entonces la suma tendrá que ser igual..-piensa en voz alta Adrián-

Y en general, cualquier número poligonal, Pn , con L lados, podemos descomponerlo en suma de números triangulares

Adrián está ensimismado, no se ha dado cuenta que ha dejado de llover y ha salido el sol. Margarita ha recogido todas sus chinchetas y ha salido corriendo a la calle, todavía tiene tiempo para jugar, saltar, cantar e imaginar que es una preciosa princesa que va dejando estelas de flores con forma hexagonal...

Margarita no ha podido dibujar pentágonos regulares, en su cuadrícula, pero el proceso es el mismo. Sabrías decirnos cuántas chinchetas necesitaríamos para formar el número pentagonal con 8 chinchetas en cada lado...y más difícil aún, sabrías obtener la fórmula general para llegar a tener n chinchetas de lado?

Esta entrada participa en la edición 2.8 del Carnaval de Matemáticas que esta edición tiene como anfitrión a Ciencia Conjunta.