Ábaco de Napier

Uno de los avances que trajo John Napier (1550-1617) dentro de las matemáticas, fueron los logaritmos y sus tablas que simplificaban bastante los cálculos, teniendo en cuenta que en esa época ¡no existían calculadoras!.

Durante la Edad Media y el Renacimiento estuvo muy difundido por Europa el uso de tableros o paños cuadriculados con fines de cálculo. Son muchas las palabras, como cheque o banco que tienen su origen en estos tableros.

Uno muy conocido elaborado por Napier, son los "huesos de Napier" o ábaco neperiano construido con regletas que facilitan los cálculos, pero en su Rhabdologia, obra impresa a finales de 1617 donde explica este ábaco, también aparece un curioso método de cálculo basado en ir moviendo cuentas sobre un tablero de ajedrez.

Este método no es solo una agradable recreación sino también un dispositivo didáctico estupendo. Es la primera computadora binaria del mundo, nacida casi cien años antes de que Leibniz explicase cómo calcular con números binarios. Aunque Napier no llegó a expresar números explícitamente en notación binaria, veremos que utilizar su tabla de recuento equivale a hacerlo así.

El tablero de recuento neperiano es una cuadrícula de tamaño arbitrario, aunque a los alumnos les gusta mucho más utilizar un tablero de ajedrez y fichas de damas, puede realizarse en un papel cualquiera donde dibujemos una rejilla y utilizar cualquier ficha, o incluso trozos de papel.
Las filas y las columnas las rotulamos con las sucesivas potencias de 2.

Veamos las sumas:

Veamos las restas:

El algoritmo de la multiplicación que es una maravilla:

El algoritmo para la división es recorrer el camino inverso, se presentan algunas complicaciones que hacen difícil explicar el proceso, pero en la práctica se aprende rápidamente a hacerlo.

Napier también explica un procedimiento para calcular raíces cuadradas de números enteros, utilizando este tablero, con un procedimiento similar. Antes de contártelo... ¿Te atreverías a intentarlo tú?




“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog “Que no te aburran las M@tes”

Algoritmo de la división II

En la entrada anterior proponía la construcción de un algoritmo parecido al dado, pero para dividir entre números mayores que cien.
Siguiendo con el ejemplo del reparto de caramelos, supongamos que tenemos 4019 en una bolsa y hay que repartir a 107 compañeros. Bien, está claro que ahora no puedo utilizar el mismo proceso, porque no puedo dar más caramelos de los que tengo en la bolsa, es decir, si reparto 40 a cien compañeros, tendría que dar también 40 a los siete que me faltan y no tendría suficientes con solo 19 que me quedan.
Bueno, pues repartamos 3000 entre 100, 30 a cada uno, me quedan 1019 en la bolsa, suficientes para seguir dando 30 a los siete que faltan, 30x7=210. Ahora restamos (antes sumábamos). Me quedan en la bolsa 1019-210=809. Repetimos el proceso, repartimos 700 entre 100, tocan a siete caramelos, y me quedan 109 para seguir repartiendo siete caramelos a los siete compañeros que me quedan. He quitado de la bolsa 49, luego quedan 109-49=60, hemos llegado al resto ( pues ya es menor que 107) y el cociente es por tanto 30+7=37 caramelos cada uno.

Quizá tú tengas una idea mejor para modificar este algoritmo. ¿Me la cuentas?

Algoritmo de la división

-¿Cómo dividir sin saber dividir?
-¿?

- Ya, la pregunta parece estúpida, ya. Vale. ¿Cómo repartir sin conocer el algoritmo de la división?

Haz la prueba con los peques. Ellos no saben hacer divisiones aún, pero saben repartir equitativamente. Supongamos que tienes a 17 niños en un aula, dale a uno de ellos una bolsa de caramelos, pongamos en la bolsa 55 caramelos por ejemplo. ¿Qué hará el niño?

Observa; seguro que hace algo parecido a esto: le da un caramelo a cada niño ( mira en la bolsa y le quedan muchos), vuelve a dar otro caramelo a cada uno ( vuelve a mirar en la bolsa y todavía le quedan unos cuantos), y vuelve a dar un caramelo a cada uno, al terminar el reparto le quedan cuatro caramelos y como es un buen chico te devuelve la bolsa.

Ha repartido equitativamente, todos tienen 3 caramelos y han sobrado cuatro. ¿Sabe dividir? quizá no sepa el algoritmo de la división, pero ha sabido repartir, ¿verdad?

Ahora, viajemos en el tiempo, a la Edad Media. ¿Cómo dividían entonces? ...Pues algo parecido a lo que ha hecho nuestro peque.

Supongamos que queremos repartir 4019 caramelos entre 87 compañeros, pero en vez de ir de uno en uno, nosotros, que somos más mayores, vamos a ir de 100 en 100, o de 1000 en 1000, porque sabemos dividir 4000 entre 100.

-Pero no hay 100, hay 87.

-Bueno, no importa, me invento 13 compañeros más y hago el reparto entre 100. Cojo 4000 caramelos de la bolsa y les doy 40 a cada uno. Me quedan 19 en la bolsa, y vuelvo a meter los 40 caramelos que he dado a esos 13 que me he inventado ( 40x13=520). En total me quedan 539.
Miramos en la bolsa, y todavía quedan muchos caramelos no?

Repetimos el mismo proceso. Reparto 500 entre 100, les doy 5 caramelos a cada uno. Me quedan 39 en la bolsa más los caramelos de esos 13 que no existen, es decir, 13x5=65. Me quedan 39+65=104 caramelos en la bolsa. Miramos en la bolsa, todavía quedan unos cuantos.

Reparto 100 entre 100. Les doy un caramelo más a cada uno. Me quedan 4 caramelos en la bolsa más los 13 de más...17. Ese es el resto, y el cociente 40+5+1=46.

-Mmm...pero y si en vez de ser 87 compañeros hay más de cien, pongamos por ejemplo 107?

-Piénsalo, mañana te lo cuento ;-)

Multiplicando con los dedos

Hoy, Adrián y Margarita están al cuidado de su prima pequeña de 7 años, Alicia. Sus padres han tenido que salir de viaje y este finde Alicia lo pasará en casa de sus primos. Margarita quiere salir a jugar con su prima, pero antes hay que hacer los deberes...Adrián que es el hermano mayor no les deja salir hasta que no acaben sus obligaciones y Margarita que ya ha acabado con los suyos se ha puesto a leer y no se oye una mosca en casa.
De repente se oye la voz de Alicia
-Jolín, he vuelto a fallar!!
Adrián se acerca sorprendido
-¿Qué pasa Alicia?
-Nada, que no me aprendo la tabla del seis, la del cinco ya me la sé..pero esta del seis no es tan fácil...
-¿Y ya te sabes las tablas de multiplicar hasta la del cinco?
-¡Sí, claro! Hasta el cinco me las sé todas y no fallo ni una...
Entonces voy a enseñarte un truquito para el resto de las tablas, y lo único que necesitas son los dedos de las manos y sumar algún número...
-Margarita que estaba escuchando ha dejado el libro y se ha acercado a mirar a su hermano mayor...es una cajita de sorpresas Adrián...

-Lo vamos a hacer con un ejemplo-explica Adrián- Veamos por ejemplo 6x7. En una mano doblas 6-5=1 dedo, y en la otra doblas 7-5=2 dedos.

¿Cuántos dedos has doblado?
-Tres-gritan al unísono las dos niñas
-Bien, pues ese número representa decenas.
-Lo multiplicas por 10 -le dice Margarita a su prima Alicia- es fácil, solo tienes que añadir un cero
-30, dice Alicia...bien y ahora?

-Ahora solo tienes que multiplicar los dedos que tienes levantados, y esas tablas ya te las sabes, Alicia- dice Adrián guiñando un ojo a su prima.
-Cuatro por tres son doce, contesta Alicia sonriendo.
-Bien, ahora solo tienes que sumar doce más treinta
-42
- Sí, seis por siete son cuarenta y dos, dice sorprendida Margarita- Probemos con otra, Adrián, por ejemplo 8x9

- Vale, pues doblamos 8-5=3 dedos en una mano y 9-5= 4 dedos en la otra.

-¿Cuántos dedos has doblado?
-7 dedos, 70
-Bien, y ahora es fácil multiplicar dos por uno- sonrie Adrián
-suman setenta y dos! 8x9=72.
- ¡Halaaaa¡ Ahora ya me sé todas las tablas- grita contenta Alicia-
Margarita, que ya va practicando el álgebra le pregunta a su hermano por una explicación más matemática, porque le ha sorprendido mucho el truco.

Mira Margarita, y Adrian coge su pizarrín y escribe:

Margarita empezaba a entender el truco...-vamos a demostrarlo en general-, y coge el pizarrín de su hermano.
-Supongamos que a y b son mayores que cinco, porque si a o b fueran cinco o menor que cinco, ya sabríamos multiplicar- dice Margarita guiñando un ojo a su hermano. Entonces...

-Entonces c más d son los dedos que me quedan levantados...¿verdad?
-¡Muy bien, Margarita!
-Y ahora es fácil:

-Dedos doblados por diez más la multiplicación de los dedos levantados...no te olvides Alicia!


Actividad en geogebra.

Esta entrada se la dedico con todo mi cariño a JoseÁngel Murcia, más conocido por @tocamates, por venir a Ciudad Rodrigo a enseñarnos tantas cosas chulis...


Esta entrada participa en la Edición 5.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Las sumas de Alicia

Dizebi - Niña estudiando por Gonzalo Iza

Alicia está terminando su página de cuentas cuando Adrián entra sin hacer ruido en el salón colocándose justo detrás de su hermana. La observa. Alicia ha aprendido mucho en poco tiempo, ya sabe dividir por dos cifras...y lo hace muy bien!
- Hola pequeñina!
Alicia sorprendida gira el rostro y sonríe. Saluda a su hermano que se sienta en la mesa a su lado.
-Ya estoy acabando, solo me queda una suma...
-Estupendo Alicia, cuando acabes nos vamos.
-No entiendo por qué tenemos que hacer tantas cuentas...cuando sea mayor como tú utilizaré la calculadora y no perderé tanto tiempo en estas cosas inútiles.
-¿Inútiles?..¿Crees que es inútil aprender a sumar?
-Bueno...no, a veces tengo que sumar números. Con mama adivino la vuelta de la compra, también cuento días cuando nos vamos y caramelos cuando es mi cumple y los reparto en el cole...
-¿Cuántas muñecas tienes Alicia?
-Tengo 14
-¿Podrías saberlo si no supieras sumar?. Imagínate un mundo sin poder contar.
-Ufff, sería un lío tremendo...

-Y dime Adrián...¿esos cálculos tan complicados? ¿Tú sabes hacerlos como la calculadora? ¿Cómo funcionan las calculadoras?

-Bueno, en realidad la calculadora sabe lo mismo que tú, aunque lo hace mucho más rápido, solo sabe hacer sumas, restas, multiplicaciones, divisiones... Antes se usaban tablas para calcular logaritmos, senos y cosenos o funciones exponenciales que es lo que tengo que calcular yo, pero llegó Taylor y nos hizo un gran regalo a todos con sus aproximaciones polinómicas que no son más que sumas y productos.

A partir de 1960 se empezó a utilizar algo todavía más sencillo para las calculadoras, el algoritmo CORDIC. Una sencilla y genial idea de Jack E. Volder...pero todo eso lo irás descubriendo poco a poco pequeñina.

-Terminé mi suma!! vámonos hermanito!!

Esta entrada participa en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension

Jugando con multiplicaciones

9:30. a.m., Adrián abre los ojos. El sol entra con fuerza por la ventana, iluminando toda la habitación. El calendario señala que hoy es lunes. Adrián sonrie...es un lunes muy especial. Pasará el día en el campo con Margarita y su padre.
Se levanta dando un salto y va directo a la cocina, piensa en hacer unas deliciosas tortitas con miel para él y Margarita. Entra en la cocina y ve con sorpresa a su hermana concentrada en un cuadernillo de cuentas.

- No puedo creer que te hayas levantado antes que yo!
- Buenos días Adrián- le contesta Margarita, - Ayer no pude terminar mis ejercicios y hoy quiero acabarlos antes de que venga papá.
Adrián besa a su hermana con dulzura.
- Bien pequeñina, haré unas tortitas mientras tu acabas tus cuentas- dice Adrián mientras mira de reojo el cuadernillo de Margarita; está lleno de multiplicaciones y fija su atención en algunas de ellas: 88x96, 83x98, 76x87.. y en la hoja siguiente,..105x117, 1026x1003...
- Margarita, yo conozco un truco para esas multiplicaciones...
-¿En serio?- ...a Margarita se le ilumina la cara...- Me encantan tus trucos, Adrián, cuéntame porfi, porfi, porfi!
Adrián escribe en su pizarrín.-Mira Margarita-

-Qué rápido Adrián! Explícame eso que has hecho-
- Verás, Margarita, cuando los números son próximos a cien, pero mayores que cien, puedes operar de esta forma: En una columna escribes los números y en otra columna la diferencia con cien. Ahora solo tienes que multiplicar los números de la segunda columna ( mucho más pequeños ) y hacer una suma cruzada con cualquiera de los dos números, poniendo el resultado en la primera columna...y voilá...solo juntas los números y ya tienes el resultado.
Margarita observa con atención..
- Voy a probar yo... 123 x 107...veamos

-Cuidado Margarita-dice su hermano Adrián- si en la segunda columna te pasas de 99, la cifra de las centenas debes sumársela a la cantidad de la primera columna.
-Ah!, entonces tengo que 123 x 107 = 13161
-Muy bien! Perfecto.

A Adrián, ya sabéis que le encanta el álgebra y jugar con números. Rellena su pizarrín con la explicación algebraica: (100 + a) · (100 + b) = 100 · (100 + a + b) + a·b

Margarita, concentrada en sus multiplicaciones le pregunta a su hermano

-Y si los números son más pequeños que cien?

- Exactamente igual, Margarita, salvo que la suma cruzada es una resta...Observa.

Adrián escribe en su pizarrín el desarrollo algebraico: (100 - a) · (100 - b) = 100(100 - a - b) + ab

Adrián deja su pizarrín y se pone manos a la obra. Mezcla harina, huevos y leche...Las tortitas no tardan en hacerse mientras Margarita sigue con sus cuentas.
Al cabo de un rato le pregunta a su hermano.
-Y si un número es mayor que cien y el otro es menor que cien?
-En ese caso, princesita, tendrás que hacer una resta... Fíjate

-A ver si lo he entendido..- dice Margarita- al multiplicar 98 por 107 lo que tenemos son 105 centenas menos 14 unidades?
-Si! -responde Adrián- eso es!
Adrián está disfrutando de las tortitas y contempla con admiración el trabajo de su hermana.
Margarita ha terminado una hoja y continua en la siguiente donde aparecen multiplicaciones de números próximos a mil.
-Creo que ya sé cómo voy a  hacer estas multiplicaciones- dice entusiasmada

-Y cómo la primera columna son unidades de millar, tengo que añadir tres cifras, si la suma de la segunda columna no llega a las centenas, entonces añado un cero.

- Estupendo Margarita!
-Yupiii! ¡Qué rápido voy!...Me encantan tus trucos Adrián!

Mientras Margarita se divertía haciendo sus "productos trucados", Adrián , que ya había terminado su magnífico desayuno, limpiaba la cocina y dejaba todo recogido.
Papá llegó en ese momento. Hoy iban a pasarlo bien.
-Papi!!- grito Margarita loca de contenta. Corrió a sus brazos y le besó.
Adrián y su padre se guiñaron un ojo. El sol lucía en el cielo, era hora de salir y disfrutar de él.

Nota al lector: Método védico descrito por Swami Bharati Krihna Tirthaji (1884-1960) en su libro "Vedic Mathemathics" publicado en 1865, donde explica el segundo de los dieciseis sutras: Todo a partir del nueve y lo último a partir del diez. Nikhilam Sutra.

Esta entrada participa en la edición 3.14 del carnaval de matemáticas, cuyo anfitrión es en esta ocasión Hablando de ciencia. A disfrutar carnavaleros!! y feliz día a todos los papis!!