Proporciones en hexágono II

Para Robín:
Te dejo los archivos en geogebra. Si haces doble clic, creo que puedes verlo mejor. Tienes un protocolo de construcción donde ves cada paso.

En primer lugar, sigo con tu notación del comentario en la entrada anterior.
Fijado L y k buscamos b y alfa.


Por el teorema del Coseno:

Nos quedamos con la solución positiva, por tanto:

Para calcular alfa es más sencillo utilizar el teorema del seno:





 En este caso el ángulo alfa recorre las amplitudes desde 1 hasta 120. Aplicando el teorema del seno obtenemos b=sen(alfa)L/sen(60).




 En este caso fijamos la constante k y obtenemos el ángulo alfa, aplicando el teorema del coseno:
b=l/2(raíz(4k-3)-1)

Proporciones en hexágonos

Para Robín:
El problema en cuestión planteado en el blog ¡Tierra a la Vista!:
Dado un hexágono regular, se dibujan seis triángulos rectángulos iguales, de ángulos 30 y 60 grados, como en la figura:

¿Qué proporción del área del hexágono mayor representa el área del hexágono menor?

Las pistas:

• La fórmula del área de un polígono regular es:

siendo el número de lados y la longitud de cada lado, es decir  
Aunque hay varias maneras de hacerlo, yo utilizaría el teorema de Thales en triángulos proporcionales y la simetría de la figura.

• Dos observaciones:
  - Todos los triángulos cuyos ángulos son 30,60,90 son semejantes y por Thales sus lados homólogos son proporcionales.(Utilizando esto yo llegaría a la relación que hay entre el lado del hexágono mayor y el lado del hexágono menor)
  
  - Si k es la constante de proporcionalidad entre los lados, entonces k al cuadrado es la constante de proporcionalidad entre las áreas.

• Por si alguien no lo sabe...si dos triángulos son semejantes, es decir tienen los tres ángulos iguales,Thales dice:

Donde    son los lados de un triángulo y    son los lados homólogos del otro.


Respuesta de Robín:

Sean L y l los lados del hexágono grande y del pequeño. Vemos por trigonometría simple que
l = L/cos 30 -L tg 30 = L (1-sen 30)/cos 30 =
L/ 2 cos 30. Notemos que la diagonal d de los triángulos rectángulos, mide L /cos 30 por lo que d = 2l.
El área de un hexágono es proporcional al de los triángulos equiláteros que van de su centro a cada uno de sus lados y el de estos al cuadrado de su lado. En palabras menos gruesas A1/A2 = L^2/l^2 = (L/l)^2 = (2 cos 30)^2 = 4 cos ^2 30
= 4 3/4 = 3.

Perfecto, además nos regala este comentario:
No tengo ahora cámara fotográfica digital, pero en las analógicas, con película química; el diafragma que permitía la entrada de más o menos luz, y a la vez la regulación de la profundidad de campo nítido; consistía de triangulillos metálicos o de otro material, muy finos de este tipo, situados de esa forma, creo recordar , hexagonalmente. De tal manera, además, que en cada posición sucesiva del diafragma hexagonal, el área que permite la entrada de la luz, fuera la mitad de la del hexágono anterior. Pero no pienso yo ponerme a calcular las proporciones lineales en cada caso.


Pues verás Robín, has hecho un estupendo calculo trigonométrico, pero creo que es más fácil para los que no saben trigonometría aplicar la proporcionalidad...mis alumnos de la eso saben el Teorema de Thales, el Teorema de Pitágoras y además saben también que el radio de la circunferencia circunscrita en el hexágono coincide con el lado (es el único polígono regular que lo cumple).
Utilizando esto tenemos que:


Hay dos triángulos proporcionales:

Por tanto tenemos las relaciones siguientes:

 

De donde:



Esto ya nos lo imaginábamos, que x es tres veces el lado del hexágono pequeño. También podíamos haber deducido esto por los ángulos, pues al continuar uno de los catetos obtenemos triángulos equiláteros donde sus tres lados son iguales:

Por Pitágoras:



Sustituyendo tenemos



Luego

Y por tanto el área del hexágono pequeño representa un tercio del área del hexágono mayor.

Una vez aclarado esto... ¿quién se anima a responder al reto de Robín?