El secreto está en los primos

Esta semana pasada la comunidad matemática ha estado muy alterada. En redes sociales se anunciaba que Sir Michael Atiyah, un gran matemático de nuestro tiempo, presentaba una prueba de la Hipótesis de Riemann, uno de los grandes problemas matemáticos del milenio. Estamos a la espera de que la comunidad matemática nos confirme su demostración, pero parece ser que aún tendremos que esperar para afirmar la hipótesis.

Este famoso problema está ligado directamente con el teorema de los números primos, que nos acota la función que nos da el número de primos que hay menor o igual al número dado.

Sabemos que hay infinitos números primos, con lo que podemos encontrar números primos con tantas cifras como queramos, pero no sabemos construir de manera eficiente un algoritmo que factorice un número entero muy grande en sus factores primos, es decir, sin que el tiempo de computo se haga interminable para un ordenador.
Aunque parezca contradictorio, la falta de este algoritmo nos ha dado una solución a la seguridad en las comunicaciones. Uno de los sistemas de cifrado de llave pública más seguros: el RSA, llamado así por sus tres inventores, Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman.

Básicamente consiste en tomar dos primos grandes, p y q, considerar su producto n=p*q y elegir un número e, tal que 1< e < Fi(n) y primo con Fi(n). Esta es la llave pública de cifrado (n, e). La llave privada, la llave de descifrado es (n,d), donde d es el inverso de e módulo Fi(n).

Calcular la llave de descifrado, es decir, calcular d, equivale a calcular Fi(n), lo que es equivalente a su vez a calcular p y q. Si dado cualquier número grande, pudiéramos factorizarlo fácilmente, entonces perderíamos la seguridad del cifrado y todas las comunicaciones que ahora se consideran seguras se verían gravemente afectadas.


¿Fi(n)? ¿inverso de e módulo Fi(n)?...pero de qué me hablas.
Fi(n) es la función de Euler, pero empecemos por el principio:

La criptografía se basa en la utilización de un algoritmo y una clave para codificar un texto de manera que solo pueda ser entendido por aquella persona o entidad que posea la clave para descifrarlo. Partimos de un conjunto finito P , que es nuestro alfabeto. Construimos una aplicación Kc biyectiva:

(texto plano)  (texto cifrado)

Esto se llama codificación, la aplicación inversa Kd, es la decodificación. A la función Kc se le llama llave de cifrado y a Kd llave de descifrado. Existen dos tipos de sistemas criptográficos, los sistemas de llave pública (se conoce Kc) y los de llave privada (no se conoce Kc).

Nuestro conjunto finito, puede ser el conjunto de las letras del alfabeto, en nuestro caso 27, aunque podemos ampliarlo con más símbolos que utilizamos al escribir, mayúsculas y minúsculas, signos de puntuación, cifras...Supongamos que trabajamos solo con las 27 letras del alfabeto, a cada letra le asignamos un número entero, entonces nuestro conjunto P={0,1,2,3,4,...26}=Z/27 

¿Z/27? ...qué es eso?

Todos conocemos el conjunto de los números enteros Z, que tiene infinitos números, y donde sabemos sumar, restar, multiplicar y dividir. Para poder operar dentro de un conjunto finito, lo que hacemos son clases de números: la clase del cero son el cero y todos los múltiplos de 27, la clase del uno son el uno y todos los números múltiplos de 27 más uno, la clase del dos son el dos y todos los múltiplos de 27 mas dos, y así sucesivamente hasta la clase del 26. En este conjunto, Z módulo 27 o la clase de restos al dividir por 27, están todos los infinitos números de Z.

Dos números pertenecen a la misma clase si su diferencia es un múltiplo de 27, es decir si el resto al dividir por 27 es el mismo, se dice que son congruentes o iguales módulo 27.

Por ejemplo en Z/2={0,1} solo tenemos dos elementos, los pares y los impares, o cuando hablamos de las 21:00 horas en nuestro reloj las agujas marcan las 9 porque estamos en Z/12.

Dentro de estos conjuntos tienen especial interés aquellos que tienen inverso, por ejemplo en Z/6={0,1,2,3,4,5} el 5 tiene inverso que es él mismo ya que 5*5=25=6*4+1=1 mod 6

La función Fi(n), que solemos denotar con la letra griega  es igual al número de elementos invertibles en Z/n. Veamos un lema importante para el cálculo de estos elementos:

Dado x en Z/n, x es invertible si y solo si mcd(x,n)=1.

Luego los elementos que tienen inverso son los coprimos con n (x y n son primos entre si, no tienen factores primos comunes). La demostración de este lema se basa en la propiedad del máximo común divisor (llamada Identidad de Bezout)  que nos asegura que si d=mcd(x,n) entonces existen números a y b de Z tales que d=a*x+b*n siendo d el menor número entero positivo que se puede poner en combinación lineal de x y n.

Así si mcd(x,n)=1 entonces existen a y b enteros tales que 1=a*x+b*n, luego a*x=1-b*n con lo que tomando clases en Z/n existe el inverso de x (en este caso es a, puesto que a*x=1 mod n). Recíprocamente si x es invertible en Z/n, existe a tal que a*x=1 + b*n, y 1=a*x-b*n como d=mcd(x,n) es el menor número entero positivo que se puede poner como combinación lineal de x y n, debe ser d=1.

Si n=p primo en Z/p todos los elementos (salvo el cero) son invertibles, luego Fi(p)=p-1. En el caso de una potencia de un primo, n=p^s, los elementos no invertibles son de la forma k*p con 1< k < p^(s-1) luego hay p^(s-1) no invertibles, así Fi(p^s)=p^s-p^(s-1)=(p-1)p^(s-1). Y en general se tiene:

Por ejemplo, en el caso Z/6, 6=2*3, el número de invertibles es Fi(6)=(2-1)*(3-1)=2, que son la clase del 1 y la clase del 5 como hemos visto.

Una propiedad importante para el cálculo de potencias grandes en Z/n es la siguiente:

Para demostrar esta propiedad se consideran todos los elementos invertibles de Z/n, se multiplican cada uno de ellos por a, que al ser primo con n resultan ser todos diferentes, luego son todos los elementos invertibles de Z/n.

Tomando su producto también será igual:

Y como son invertibles podemos dividir por el producto de los ri, demostrando así la propiedad.

Con todo esto ya podemos volver al RSA y ver que efectivamente las dos funciones son inversas:

La función de cifrado, con e primo con Fi(n), luego e tiene inverso en Z/Fi(n).

La función de descifrado, con d el inverso de e  mod Fi(n):

Comprobamos que son inversas:

En la práctica, si N es nuestro alfabeto, los mensajes van a ser bloques de k-letras (texto plano) y los mensajes cifrados serán bloques de l-letras:

Tomando k < l enteros positivos de modo que los bloques sean de aproximadamente 200 cifras, y fijando n=p*q comprendido entre N^k y N^l. Utilizando la aplicación biyectiva siguiente:

Veamos un ejemplo, no es práctico porque no vamos a tomar números grandes para facilitar los cálculos, pero puede sacarnos de dudas. Supongamos que queremos cifrar la palabra HOLA, esta se corresponde con (8,16,12,1). Si tomamos grupos de cuatro letras, debemos buscar n=p*q entre 27^4= 531441  y 27^5=14348907. Tomamos por ejemplo los primos p=1201 y q=2551, n=p*q=3063751.

Buscamos nuestra clave pública, calculamos Fi(n)=Fi(3063751)=Fi(1201)*Fi(2551)= 1200*2550= 3060000 =2^5 * 3^2 * 5^4*17 , tomamos por ejemplo e=7 que es primo con Fi(n). Esta será nuestra llave pública Kc(n=3063751, e=7)

Y finalmente obtenemos el texto cifrado (16,21,11,10,2) se corresponde con OTHJB.

Veamos la función inversa para descodificar el mensaje cifrado, para ello necesitamos el inverso de e=7 módulo 3060000. Podemos utilizar el Algoritmo extendido de Euclides , que en este caso es sencillo pues solo tenemos que hacer dos divisiones:

3060000=7*437142+6

7=6*1+1

luego 1=7*437143-3060000, y la clase inversa del 7 es 437143 mod 3060000. Esta es nuestra llave privada Kd(n=3063751, d=437143):

Pasamos al conjunto Z/27^4 escribiendo el número en base 27: 28871=8+16*27+12*27^2+1*27^3 obtenemos las correspondientes letras (8,16,12,1)=HOLA.

Os propongo que con mi clave pública (n=3063751, e=7) me escribáis algún mensaje codificado en los comentarios. Para los cálculos os propongo utilizar la versión online de Sage. Aquí os dejo una introducción que os puede ayudar. 

Y aquí mi mensaje cifrado que podéis descifrar con la clave privada Kd(n=3063751, d=437143)

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Nota: la letra Z coincide con el número 27 que es la clase del cero. A ver si sacáis el mensaje!

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima novena edición, también denominada 9.3, está organizado por @juanfisicahr a través de su blog Esto no entra en el examen.

La curva de Agnesi

En el punto 5 del listado de los 17 Objetivos de Desarrollo Sostenible dentro de la Agenda 2030, está la de alcanzar la igualdad entre los géneros y empoderar a todas las mujeres y niñas.

Desde el año pasado y con el fin de lograr el acceso y la participación plena y equitativa en la ciencia para las mujeres y las niñas, y además para lograr la igualdad de género y su empoderamiento, hay un nuevo día señalado dentro del calendario en los Días internacionales de las Naciones Unidas: el 11 de febrero, Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia.

Un grupo de científicos, comunicadores y divulgadores se han unido en un proyecto para coordinar y difundir todas aquellas actividades que se realicen para celebrar este señalado día.
Podéis ver toda la información en su página web: https://11defebrero.org/ y seguir su cuenta de twiter: @11defebreroES

Autora: María del Álamo Ortega @marialamort

Hay muchas actividades propuestas e ideas para llevar al aula. Algunas tratan sobre mujeres científicas que la historia no ha tratado debidamente, puesto que han pasado desapercibidas frente a sus contemporáneos varones, más famosos y más reconocidos, pero no por ello más importantes en el desarrollo científico.

Aprovechando la semana del carnaval de matemáticas, traigo a este rinconcito el nombre de una mujer matemática, muy relacionada con nuestro currículo en bachillerato. Fue una genialidad en el campo de las matemáticas, sin embargo a la edad de 34 años decidió dedicar su vida a ayudar a los más pobres y necesitados dentro de una vida religiosa. Ella pudo elegir ese camino, pero no por falta de capacidad.

Las niñas de hoy serán las científicas del mañana y necesitan modelos científicos, que no tienen que ser siempre hombres. Hay muchas mujeres en la historia que contribuyeron y contribuyen al avance de la ciencia que de otra manera quedaría sesgado e insuficiente. Pero también son libres de elegir su camino y dedicarse a lo que ellas realmente quieran hacer. Ojalá nunca les falten las oportunidades de convertirse en mujeres científicas.

María Gaetana Agnesi.

Nos encontramos en pleno siglo de las luces, la Ilustración, el siglo XVIII europeo. Agnesi nace en Milán el 16 de mayo de 1718. Desciende de una familia adinerada, enriquecida en el comercio de la seda. Es la hija mayor de Pietro Agnesi y Anna Fortunato Brivio. Tiene la suerte de nacer en Italia, donde la mayoría de hombres admira a las mujeres intelectuales, que jamás son ridiculizadas por su cultura y educación científica.

Influye muchísimo en ella, su padre, profesor de matemáticas en la Universidad de Bolonia que le procura una educación excelente. Es una niña prodigio, María Gaetana Agnesi tiene:

• 5 años cuando ya habla francés correctamente
• 9 años cuando puede conversar en latín, griego, hebreo, alemán, español, francés e italiano.
• 10 años y destaca en matemáticas, se familiariza con las obras de Newton, Leibniz, Descartes y Fermat.
• 14 años cuando resuelve problemas de geometría analítica y cinemática que ya quisiéramos que resolvieran nuestros chicos de 17...
• 17 años cuando elabora un completo comentario crítico del análisis de las cónicas del Marqués de L´Hôpital. 

Resulta curioso la distinta atención recibida por L´Hôpital y Agnesi en la historia: hoy conocemos la regla de L´Hôpital para el cálculo de límites sin saber que esa regla fue elaborada por Bernoulli y comprada por L´Hôpital para publicarla en su nombre. En aquella época era habitual costear las publicaciones propias, así que había que tener dinero para pasar a la historia. María, sin embargo, recopiló, sistematizó y completó con aportaciones originales el saber científico de su época (también tuvo dinero para publicarlo), pero se la conoce casi exclusivamente por la curva que estudió minuciosamente vinculada erróneamente al término bruja.

• 20 años cuando opina y discute sobre filosofía, lógica, mecánica, elasticidad, mecánica celeste y la teoría newtoniana de la gravitación universal. Su padre publicó 190 ensayos recopilando estas discusiones. 

Su casa reunía a la élite intelectual del momento, María participaba en la mayoría de seminarios, asombrando a los invitados por su inteligencia y erudición. María es muy religiosa, tímida y no le gusta exhibirse en estas reuniones públicas. Ella quiere ingresar en un convento, pero su padre se niega, a cambio de no tomar los hábitos, seguir viviendo en casa, y cuidar de él y de sus hermanos, pide a su padre "poder ir a misa siempre que quiera, vestir sencilla y humildemente, y no tener que asistir a bailes y fiestas"

• Con 21 años, su profesor Ramiro Rampinelli, monje y catedrático de matemáticas de la Universidad de Padua le sugiere escribir un libro de cálculo diferencial. Comienza a escribir Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana. 

La última esposa de su padre muere (tuvo tres esposas) y ella se encarga de sus, nada menos que 20 hermanos, nacidos en los tres matrimonios. María definitivamente se aparta de la vida pública.

• 30 años, cuando consigue editar el primer tomo de las Instituciones Analíticas. 

Este tomo recogía de modo claro, riguroso y didáctico la geometría cartesiana. Un año más tarde publica el segundo tomo con una primera sección sobre análisis de cantidades finitas, problemas de máximos y mínimos, tangentes y puntos de inflexión. Una segunda sección sobre infinitésimos. Una tercera sobre cálculo integral y una última sobre métodos de resolución de ecuaciones diferenciales.

Cuando este libro fue publicado, causó sensación en el mundo académico y fue considerado por la Academia de Ciencias de París como el mejor tratado de cálculo diferencial e integral desde LHôpital hasta Euler. Los círculos científicos más importantes de la época opinaron que era admirable el arte con el que había logrado reunir las diversas aportaciones realizadas por los diversos matemáticos de la actualidad, a las que cada cual había llegado por métodos distintos y que María había logrado unificar, además de completar con aportaciones originales.

• 34 años tiene cuando su padre muere y María abandona su casa para ingresar en un convento y dedicar su vida al cuidado de pobres y enfermos.

De todo su trabajo, 25 volúmenes se guardan en la Biblioteca Ambrosiana de Milán, únicamente ha trascendido a lo largo de casi tres siglos, el nombre adulterado de una curva que María analizó con detalle e intención didáctica, como lo hizo con otros muchos ejemplos de su obra principal. Se trata de la curva de la bruja de Agnesi, como se conoce la curva sinusoidal versa. Esta curva fue llamada versiera por Guido Grandi. Lo hizo por la forma en que se origina, pues versiera viene del latín vertere, que significa virar, girar. El italiano vulgar evolucionó y llegó a decirse avversiera, voz similar a avversiere que significa esposa del demonio. John Colson cayó en esta confusión cuando María, a sus 42 años, estaba retirada de toda actividad matemática. Colson muere sin llegar a publicar la traducción al inglés de las Instituciones analíticas y esta se realiza dos años después de la muerte de María, a sus 81 años, de esta manera empieza la confusión de la curva llamada bruja de Agnesi.

La curva de Agnesi

Versiera significa girar, y es una recta la que gira con un punto fijo en una circunferencia y lo hace en todas direcciones. En el punto diametralmente opuesto al centro del giro, hay una recta tangente a la circunferencia. La recta al girar, va cortando a la circunferencia y a la recta tangente. Dos rectas trazadas desde esas intersecciones paralelas a la tangente y al diámetro respectivamente, se cortan en un punto que , al moverse la recta giratoria, describe una curva: la curva de Agnesi.

El punto P dibuja la curva Agnesi al girar la recta r

Actividad 1: Realizar la construcción en geogebra, animando el punto A y seleccionando el rastro en el punto P.

Actividad 2: Obtener sus ecuaciones cartesianas para un diámetro unidad.

Llamemos:
C al punto fijo, centro del giro. Lo colocamos en el origen de coordenadas. C = (0,0)
D punto de la circunferencia diametralmente opuesto a C. D=(0,1)
A a la intersección de la recta con la circunferencia
B a la intersección de la recta dada con la recta tangente a la circunferencia en D. B = (x,1)
P punto de la curva Agnesi. P = (x,y)
E a la intersección de la recta perpendicular al diámetro que pasa por P. E =(0,y)

Entonces el triángulo CDB es semejante a CEA, por tanto: DB/EA=CD/CE
Es decir:

 

El triángulo DAC es rectángulo por estar inscrito en la circunferencia y abarcar un diámetro, EA es su altura, que divide al triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos proporcionales entre sí, CEA y ADE, así (teorema de la altura) obtenemos la relación: DE/EA=EA/EC. Y por tanto:



Sustituyendo EA en la igualdad anterior, tenemos:




Y operando:









Luego:



¿Os suena?

¡Es la derivada de artgx!

Tenemos un contorno infinito, sin embargo esta curva es una cajita de sorpresas, pues encierra una superficia ¡finita!.

Actividad 3. Calcular el área que forma la curva de Agnesi con el eje OX. Comprobar el resultado utilizando geogebra.







No solo es sorprendente que su medida sea finita, sino que valga exactamente pi, tal vez el número más famoso de la historia de las matemáticas.

En geogebra utilizando la sentencia Integral[1/(1+x^2),-infinity,infinity]

Actividad de ampliación:

Y si giramos la curva alrededor de su asíntota, es decir alrededor del eje X, formando un sólido de revolución, ¿Qué volumen tendría?

Actividad 4: Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva de Agnesi alrededor del eje OX. Construir el cuerpo de revolución en geogebra utilizando el rastro de la curva en la ventana 3D.

Tomamos un disco, la sección cortada por un plano perpendicular al eje de revolución del cuerpo.
Este círculo tendrá área: pi*r^2, donde el radio es precisamente |f(x)|. Luego tenemos que calcular:

Para calcular esta integral se utiliza un método que llamamos Método de Hermite. Ver desarrollo.

Así obtenemos:

Esta entrada participa en la Edición 7.X del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog del IMUS.

Duelos matemáticos en el Renacimiento Italiano II

En el capítulo anterior: Antonio María del Fiore recibe la fórmula que resuelve la ecuación reducida de tercer grado de su maestro Scipione del Ferro antes de que este muera. Con tal tesoro en sus manos reta a Niccolo de Tartaglia a un duelo, proponiendo 30 problemas. Todos ellos extrañamente parecidos :

"Determina por dónde debe ser cortado un árbol de 12 varas de altura de manera que la parte que quede en la tierra sea la raíz cúbica de la parte superior cortada"

"Encuentra un número que se convierte en 6 cuando se le suma su raíz cúbica"

"Un hombre vende un zafiro por 500 ducados, obteniendo así un beneficio de la raíz cúbica del precio que pagó por él. ¿A cuánto asciende el beneficio?"

Niccolo de Tartaglia consigue descubrir un método para resolver todos estos problemas, y vence el duelo. Esto llega a oídos de Cardano que después de mucho insistir y jurar que no la publicará, consigue de Tartaglia la fórmula. Cardano profundiza en el método e investiga junto con su alumno Ludovico Ferrari y busca entre los papeles de Scipione del Ferro encontrando allí la fórmula de Tartaglia. En 1545 su Ars Magna ve la luz en una imprenta de Nuremberg y da a conocer públicamente la fórmula. Tartaglia se siente traicionado.

Continuación:

Un año más tarde, en Venecia, Tartaglia publica un nuevo libro, Quesiti et inventioni diverse (1546), donde cuenta su versión de los hechos. Reproduce las cartas intercambiadas con Cardano y le insta a desdecirlo si algo de lo que afirma fuera falso. Muy molesto con algún comentario de Cardano donde se disculpa por no encontrar la solución, Tartaglia escribe "casi queriendo decir que si vos os hubieseis puesto a buscarla, la habríais encontrado, lo cual verdaderamente me produce risa". No obtiene ninguna respuesta de Cardano.

El 10 de febrero de 1547, Tartaglia obtiene una respuesta a sus quejas, pero no de Cardano sino de Ludovico Ferrari. Esta respuesta viene en forma de cartel. Los carteles son cartas públicas distribuidas a todo aquel que tuviera algo que ver u opinar. En este cartel, Ludovico, no solo se defiende de las acusaciones de Tartaglia contra Cardano sino que pasa directamente al ataque. Acusa a Tartaglia de plagio, señala múltiples defectos de su obra y le acusa de tener mala memoria a la hora de recordar lo sucedido. Lo desafía a un duelo, un nuevo debate público sobre: "Geometría, Aritmética y las disciplinas de las que ellas dependen, como Astrología, Música, Cosmografía, Perspectiva, Arquitectura y otras." 

Tartaglia responde con otro cartel el 19 de febrero, pidiendo que fuera Cardano el que diera la cara y no su alumno.

"Yo me expresé de esa manera tan calumniosa y usando palabras tan afiladas, para incitar a su Excelencia, y no a vos, a escribirme de su propia mano. Tengo muchas cuentas pendientes con él..."

Cardano sigue guardando silencio. Ferrari responde con otro cartel, en él escribe:

"Cardano recibió de ti aquella invencioncilla del cubo y el lado igual al número, y para reanimarla de la muerte, que tenía próxima, la injertó, cual languileciente y semimuerta plantita en un amplísimo y feracísimo huerto, en su sutilísimo y eruditísimo volumen; te celebró como inventor y recordó que te había rogado mucho para que se la confiases. ¿Qué más quieres?"

Durante un año y medio los carteles se suceden entre ellos, son finalmente doce, seis de Ferrari y seis respuestas de Tartaglia, quien siempre dirige sus escritos a ambos, a Cardano y a Ferrari. En el cartel del 21 de abril de 1547, Tartaglia envía una lista de treinta y un problemas; en respuesta el 24 de mayo, Ferrari le envía otros treinta y un problemas.

Algunos problemas que envía Ferrari:

"Cuestión 17. Divide el número 8 en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible, demostrando cada paso"

"Cuestión 21. Encuentra seis cantidades en progresión geométrica tales que el doble de la segunda más el triple de la tercera iguale a la raíz cuadrada de la sexta"

El último cartel, fechado el 24 de julio de 1548, Tartaglia acepta las condiciones del duelo, el lugar y los jueces, junto con la fianza que cada uno debía abonar como garantía.

El duelo se celebra el 10 de agosto de 1548 en Milán. Acude una multitud, con numerosas personalidades de la ciudad.  Las discusiones sobre un problema de Ferrari que Tartaglia no resuelve alargan la sesión hasta la hora de la cena, quedando interrumpida hasta el día siguiente. A esta nueva sesión Tartaglia no se presenta. Ferrari se proclama vencedor, pero lo más destacable de este duelo es la ausencia de una persona: Cardano.

...

Fuente:
Francisco Martín Casalderrey. Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano.

¿Querido lector, sabrías dar solución a las dos cuestiones planteadas por Ferrari?

Duelos matemáticos en el Renacimiento Italiano

La historia de las matemáticas está llena de episodios apasionantes, uno de ellos es, sin duda, la aventura de la ecuación cúbica: del cubo y las cosas igual al número.

Durante el siglo XV se ha ido difundiendo y extendiendo el uso del álgebra, la ciencia llegada a Occidente a través de los árabes, se clarifica y se mejora. Es tiempo de Maestro Dardi de Pisa, Maestro Benedetto de Florencia, Luca Pacioli...
Pero un problema se resiste, el que atañe al cubo, el cuadrado, la cosa y el número, la resolución de la ecuación cúbica.

La universidad en el siglo XVI es muy diferente a nuestra universidad. Por entonces cualquiera podía ser desafiado a una disputa pública, el adversario proponía preguntas y problemas, y de manera pública, se llevaba a cabo un debate y al finalizar este, había siempre un vencedor y un vencido. Muchas veces había apuestas de por medio, incluso se ponía en juego la cátedra en la universidad o la posibilidad de conseguirla. En todo caso, uno se jugaba el prestigio personal y su reputación. Si el enfrentamiento era entre dos reputados y doctos profesores o aspirantes a serlo, el debate podía convertirse en un acontecimiento de relevancia social. Toda la ciudad opinaba y, de alguna manera, apostaba por uno y otro rival. Así, no es de extrañar que muchos descubrimientos se guardaran como oro en paño, como as en la manga para ganar este tipo de duelos.

Nos situamos en Bolonia, la sabia, la ciudad más docta de la Italia del siglo XVI

Un profesor de la Universidad de Bolonia llamado Scipione del Ferro (1465-1526) encontró la fórmula que hoy en día se sigue utilizando para resolver la ecuación:

 

No se sabe cómo lo logró, puesto que no hay ninguna información sobre este descubrimiento, quizá la tomó de algún escritor árabe o quizá fue él mismo quién la descubrió. Pudo ser sobre el año 1506 (según Tartaglia) o 1515 (según Cardano). El caso es que no la publicó, no le contó a nadie su descubrimiento hasta poco antes de morir, que compartió el hallazgo con dos personas: su yerno y sucesor en la cátedra de la universidad, Annibale della Nave, y uno de sus alumnos, el veneciano Antonio María del Fiore.

Del Fiore vuelve a Venecia, la ciudad comercial por excelencia. Allí se había trasladado Niccolo Tartaglia en 1534, desde la ciudad de Brescia donde había nacido. Tartaglia da clases de aritmética en la escuela de ábaco de la iglesia de San Zanipolo y además tiene cierta fama pues ha tenido éxito en algunos trabajos para los ingenieros del Arsenal veneciano.

Surgió el debate entre ambos y se planteó la disputa. Cada uno de los contrincantes planteó al otro treinta problemas. Los de Tartaglia abordaban una variedad de temas aritméticos, geométricos y algebraicos. Los de Del Fiore correspondían todos al mismo patrón: ecuaciones de tercer grado sin termino de segundo grado. El vencedor pagaría al perdedor y a sus amigos una comida, podrían acudir tantos amigos como problemas hubiera resuelto el ganador.

La noche del 12 de febrero de 1535, Niccolo Tartaglia, después de llevar cuarenta y ocho días encerrado, leyendo y releyendo la lista de problemas planteados por su rival, consigue un método operativo que resuelve de un tirón, todos los problemas de la lista.

Del Fiore pierde estrepitosamente el debate. No es capaz de resolver ni uno solo de los problemas de Tartaglia. A partir de este momento la fama de Niccolo llega a importantes ciudades del norte de Italia. Llega a oídos de Gerolamo Cardano.

En 1539, Gerolamo Cardano está terminando de escribir su Practica Arithmetica Generalis, y considera interesante incluir en él, la fórmula de Tartaglia. Pide al librero Zuantonio da Bassano, que es conocido de ambos, que se encuentre con Tartaglia en Venecia.

Eso hace el 2 de enero de 1539, pidiendo a Tartaglia, en nombre de un hombre respetable, médico de Milán, llamado Messer Gerolamo Cardano, que le cuente la forma de resolver las ecuaciones del cubo y la cosa igual a un número para poder publicarla en su libro, reconociendo a Tartaglia su autoría.

Tartaglia se niega,  "Dile a su Excelencia que deberá disculparme, pero que cuando decida hacer pública mi invención será en mi propia obra y no a través de la de otros..." y lo hace en varias ocasiones, ya que Cardano insiste.

Sin embargo consigue convencer a Tartaglia de aceptar una invitación para pasar unos días con él en Milán expresando interés en sus instrumentos de artillería, y conocer allí al Marqués del Vasto (noble español y militar de cierto prestigio), en el castillo de la vecina localidad de Vigevano. 

Las presiones de Cardano sobre Tartaglia son grandes. 

"Juro por los Santos Evangelios y por mi fe como caballero no hacer públicos tus descubrimientos, si me los cuentas; del mismo modo prometo y aseguro por mi fe de buen cristiano que los escribiré en cifra, de manera que nadie que los lea tras mi muerte, pueda comprenderlos. Si yo, en opinión vuestra, soy un hombre honesto, contádmelo y, si no es así, demos entonces por terminada esta conversación."

Finalmente Tartaglia cede en comunicar su fórmula.

"Si no confiara en un juramento como el vuestro, entonces, desde luego, yo mismo merecería ser considerado un ateo"

En este momento aparece otro personaje importante en esta historia, Ludovico Ferrari, que es sirviente en casa de Cardano y su secretario personal, con él aprende griego, latín y matemáticas. Tiene solo 17 años. Ferrari es testigo de la escena entre Tartaglia y Cardano. Tartaglia comunica su método operativo mediante unas rimas que había escrito para facilitar su memorización:

Quando che'l cubo con le cose appresso

se agguaglia a qualche numero discreto

trovan dui altri differenti in esso.

Da poi terrai questo per consueto

che il lor produtto sempre sia eguale

al terzo cubo delle cose neto,

El residuo poi suo generale

delli los lati cubi ben sottratti

varra la tua cosa principale.

...

Tratemos de traducir conservando al máximo su originalidad:

Cuando está el cubo con las cosas preso

y se iguala a algún número discreto

busca otros dos que difieran en eso

Después tú harás esto que te espeto

que su producto siempre sea igual

al tercio cubo de la cosa neto

Después el resultado general

de sus lados cúbicos bien restados

te dará a ti la cosa principal.

...

Los dos primeros versos equivalen a plantear la ecuación:

El tercero equivale a establecer otros dos números que difieran en q precisamente.

Los versos 4, 5 y 6 se refieren a:

Los tres finales dan la solución:

Ese mismo año Cardano envía a Tartaglia una copia de su libro Practica Arithmetica, recien salido de la imprenta y sin ninguna referencia a la ecuación de tercer grado, lo que debe dejar bastante tranquilo a Tartaglia.

Cardano estudia con profundidad la fórmula de Tartaglia, seguramente ayudado por su alumno Ludovico Ferrari. Logran resolver la ecuación general de tercer grado, es decir, la completa, con su término cuadrado, reduciéndola mediante un cambio de variable al caso reducido.

Sin embargo en este proceso se encuentran con dificultades, teniendo en cuenta que en aquella época ni siquiera los números negativos eran aceptados, aparecían raíces cuadradas de radicando negativo, incluso en ecuaciones que se planteaban conociendo de antemano sus soluciones enteras.

Por tres veces escribe Cardano a Tartaglia pidiendo explicación. La última el 4 de agosto de 1539, pero Tartaglia no le da ninguna respuesta.

La historia se traslada ahora a Bolonia, allí viajaron Cardano y Ferrari en 1542, buscando respuestas de la mano de Annibale della Nave, el cual les permite revisar los papeles de Del Ferro. Cuál es la sorpresa de ambos que no encuentran lo que buscan sino directamente el método operativo para resolver la ecuación reducida de tercer grado. Este método era el mismo que Tartaglia les ha comunicado, por tanto no es este su primer descubridor, sino Del Ferro. Ahora, pueden publicar la fórmula, esta que acaban de encontrar y así Cardano no incumple su juramento a Tartaglia.

Cardano publica en 1545 su Ars Magna. En esta obra aparece el capítulo del cubo y las cosas igual al número. Además de explicar todas las formas posibles de una ecuación de tercer grado, se incluyen también las ecuaciones de cuarto grado que descubre Ferrari, reduciéndolas, mediante cierta estrategia, a ecuaciones de tercer grado. El conjunto de los avances que este libro aportaba es incalculable.

En el capítulo XI Cardano escribe:

"Scipione del Ferro, de Bolonia, hace más de 30 años inventó esta regla y la comunicó a Antonio María del Fior, de Venecia, quién celebró un certamen con Niccolo Tartaglia, de Brescia, lo que dio ocasión a que Niccolo por sí mismo la (re)descubriera, el cual me la dio a mi, suprimida la demostración, como consecuencia de mis ruegos. Pertrechado de este auxilio, busque demostración por varias vías, lo que fue muy difícil"

Por dos veces agradece a su amigo Niccolo haberle dado la fórmula. Y aún lo cita en un capítulo más. 

De poco consuelo debieron servir a Tartaglia todos los reconocimientos de Cardano. El hecho para él era que Cardano había incumplido su juramento, ¡le había traicionado!

Continuará...

---fin de la primera parte---

Esta entrada participa en la Edición 7.9 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog de José Luis Muñoz.

Ábaco de Napier

Uno de los avances que trajo John Napier (1550-1617) dentro de las matemáticas, fueron los logaritmos y sus tablas que simplificaban bastante los cálculos, teniendo en cuenta que en esa época ¡no existían calculadoras!.

Durante la Edad Media y el Renacimiento estuvo muy difundido por Europa el uso de tableros o paños cuadriculados con fines de cálculo. Son muchas las palabras, como cheque o banco que tienen su origen en estos tableros.

Uno muy conocido elaborado por Napier, son los "huesos de Napier" o ábaco neperiano construido con regletas que facilitan los cálculos, pero en su Rhabdologia, obra impresa a finales de 1617 donde explica este ábaco, también aparece un curioso método de cálculo basado en ir moviendo cuentas sobre un tablero de ajedrez.

Este método no es solo una agradable recreación sino también un dispositivo didáctico estupendo. Es la primera computadora binaria del mundo, nacida casi cien años antes de que Leibniz explicase cómo calcular con números binarios. Aunque Napier no llegó a expresar números explícitamente en notación binaria, veremos que utilizar su tabla de recuento equivale a hacerlo así.

El tablero de recuento neperiano es una cuadrícula de tamaño arbitrario, aunque a los alumnos les gusta mucho más utilizar un tablero de ajedrez y fichas de damas, puede realizarse en un papel cualquiera donde dibujemos una rejilla y utilizar cualquier ficha, o incluso trozos de papel.
Las filas y las columnas las rotulamos con las sucesivas potencias de 2.

Veamos las sumas:

Veamos las restas:

El algoritmo de la multiplicación que es una maravilla:

El algoritmo para la división es recorrer el camino inverso, se presentan algunas complicaciones que hacen difícil explicar el proceso, pero en la práctica se aprende rápidamente a hacerlo.

Napier también explica un procedimiento para calcular raíces cuadradas de números enteros, utilizando este tablero, con un procedimiento similar. Antes de contártelo... ¿Te atreverías a intentarlo tú?




“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog “Que no te aburran las M@tes”

XIII Congreso de matemáticas

Ayer estuve en el XIII Congreso Regional de Matemáticas de Castilla y León, en la preciosa ciudad de Ávila. Fue un programa muy centrado en Geogebra, donde se presentó el Instituto Geogebra de Castilla y León, el IGCL.

La conferencia plenaria fue una maravilla, Constantino de la Fuente nos deleitó con un viaje pitagórico a través de la symmetria y de la armonía. Terminó con un recorrido por la catedral de Burgos y su precioso instituto el IES López de Mendoza.

Me hubiera gustado escuchar todas las comunicaciones, pero había que elegir dos, así que me fui al aula José de Echegaray para escuchar al salmantino Santiago Pérez, y su experiencia de aula. Un aprendizaje por proyectos, con grupos cooperativos, que ha desarrollado con sus alumnos durante tres semanas, un aprendizaje por descubrimiento, estudiando las propiedades de la circunferencia de los nueve puntos. Después me acerqué al aula Julio Rey Pastor, para disfrutar con unas aproximaciones al número pi desde la probabilidad, gracias a José Manuel García Díez. Me hubiera gustado escuchar a Mª Cruz Horcajo, y su propuesta de olimpiadas en primaria, que celebran en Segovia, pero tuve ocasión de charlar después con ella, y creo que es una magnífica propuesta que deberíamos copiar en todas las provincias.

El sábado disfruté con geogebra. Merece la pena echar un vistazo a todo lo que hace Jose Antonio Mora,  que nos enseñó una pincelada sobre sus matemáquinas, su análisis geométrico de algunas obras de arte como Las meninas de Velazquez, o El quitasol de Goya.
José Luis Muñoz Casado nos construyó paso a paso las potencias de números complejos, y la construcción de polígonos a partir de ellos. Ver en GeogebraTube
Me hubiera gustado escuchar a José Luis y sus propuestas para el desarrollo de la creatividad pero me quedé con José Manuel Arranz que nos presentó los poliedros, materiales que ha realizado en geogebra 3D, una maravilla que podéis apreciar en su libro de geogebra.

Lo mejor fue escuchar en directo a Antonio Pérez Sanz en la clausura del congreso, "Hacer" matemáticas en la clase de matemáticas. Un verdadero placer. Mencionó muchas cosas, entre ellas cabe destacar "Lamento de un matemático" que anda por este rinconcito.

Una muestra en 140 caracteres:

Mi opinión:

El uso de geogebra en el aula de matemáticas me parece algo fundamental, incluido, ese uso, en educación primaria.

Es una maravilla ver lo que pueden llegar a hacer estos "monstruos", pero no es necesario llegar a ser un experto en geogebra para usarlo. Es una herramienta, y como todas las herramientas, habrá quién las maneje mejor, incluso habrá personas que hagan verdaderas obras de arte con geogebra, como hemos visto en este congreso.
Sí que es verdad que se pueden hacer aplicaciones complejas, interactivas, que incluso corrijan al usuario, pero la gran ventaja que le veo yo a geogebra, es que no hace falta ser un experto para empezar a usarlo.

Permite al alumno investigar y descubrir por si mismo. Creo que, más que por el profesor, debería ser usado por el alumno, porque es un verdadero laboratorio de matemáticas, que facilita el aprendizaje y muestra lo que no somos capaces de ver en las ecuaciones o fórmulas algebraicas.

La geometría sí, pero dinámica, como bien dice Antonio Pérez, y descubrir las matemáticas que están a nuestro alrededor, en las flores, en las conchas, en las máquinas, en la pintura, en los mapas de carreteras, en la catedral de Burgos, en la ermita del Cañón de Río Lobos, en los campos de cultivo..., solo hay que mirar con atención, y ahí están.

Y para terminar, agradecer a todo el equipo de Ávila que ha hecho posible el congreso, en particular a Rubén Jiménez, por su grandísimo trabajo y por cuidarnos a tod@s tan bien. ¡Así da gusto!

Figuras Gemelas. Reto Gardner

Supongo que todos conocéis a Martín Gardner. Un gran divulgador científico que nos dejó un motón de retos matemáticos. En esta ocasión y con motivo de la semana del Carnaval de Matemáticas de este mes, he realizado un pequeño proyecto en Scratch que os ayudará a resolver uno de sus retos geométricos que más me gustan.
¡Espero que lo disfrutéis!

Enlace al proyecto.

Si os interesa tener los dibujos en formato vectorial (.svg) para utilizarlo en vuestras clases, os dejo el enlace de descarga. Una preciosa manera de ver simetrías en el plano, giros y traslaciones; y cómo la simetría axial cambia la orientación en el plano. Para que los alumnos construyan nuevos retos de este tipo, utilizaremos figuras que teselan el plano, aunque esto lo dejaremos para otra próxima entrada :)

Esta entrada participa en la Edición 7.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Actualización: Acabo de ver un material escrito por Grupo Alquerque  para la revista SUMA nº45, 2004, que es estupendo para completar este reto Gardner. Podéis acceder desde la web de divulgamat, en este enlace.