Jugando con chinchetas

Está lloviendo. Hoy Margarita no sale al parque. Ha sacado su juego de chinchetas y está muy entretenida...su hermano mayor, Adrián, la observa con atención.


Ha colocado una chincheta roja, después dos más, formando un perfecto triángulo. Ha cambiado de color al amarillo y ha seguido colocando tres chinchetas más y con cuatro azules ha seguido construyendo su triángulo, cada vez más grande, ahora elige cinco verdes y continua...

Si tienes un Ipad, hay una aplicación gratuita para jugar.

-¡Números triangulares! -exclama asombrado Adrián-.
-¿Qué es eso? -responde Margarita-.
-El número de chinchetas que necesitas para dibujar un triángulo. Mira, para el triángulo de lado cinco, necesitas 1+2+3+4+5=15 chinchetas.
-Ah! -contesta Margarita- entonces para dibujar un triángulo de lado 10, necesitaría 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 chinchetas?
-Eso es, -responde Adrián- Yo conozco un truco para sumar super-rápido números consecutivos. Mira Margarita- Adrián saca su pizarrín y enseña a Margarita su truco: Sumo dos veces la misma cantidad, pero agrupando cada número con su simétrico, así obtengo siempre el mismo número.

Ahora, solamente tengo que multiplicar 10 veces por 11, tengo 110, y como he sumado dos veces la misma cantidad, ahora lo divido entre dos, 110/2 = 55. ¿Ves que rápido?
-Si...eres un fenómeno hermanito...Y si quiero llegar al  triángulo con 15 chinchetas de lado ¿Cuántas necesito?
-1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 ¿Cuánto es, Margarita?
-Veamos, si lo hago con tu truco, tendré 15 veces 16, que son 240, ahora lo divido entre dos y obtengo 120 chinchetas!...creo que tengo suficientes...
Margarita se pasa un buen rato colocando chinchetas...¡perfecto!-exclama al terminar-
-Ahora voy a pintar cuadrados.-dice Margarita-

Margarita empieza colocando una chincheta, después añade 3 para formar el cuadrado de lado 2, continua añadiendo 5 chinchetas para formar el cuadrado de lado 3, después añade 7 chinchetas para dibujar el cuadrado de lado 4, y por último 9 más para el cuadrado de lado 5.
-Mira Adrián- le dice a su hermano.
-Muy bien, Margarita. Fíjate que ahora estas sumando los números impares.
-¡Es verdad, Adrián! 1+3+5+7+9= 25 chinchetas necesito para construir el cuadrado de lado 5.
-¿Sabes cuántas chinchetas necesitas para llegar al cuadrado de lado 10?
-Veamos, tengo que sumar 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19, y si utilizo tu truco, tengo 10 veces 20, es decir 200, que dividido por dos son 100 chinchetas!...anda! claro! pero si es más rápido calcular 10 al cuadrado...jejejeje.-Se rie Margarita-
-Observa el cuadrado, Margarita. - Le dice su hermano- Podemos separarlo en dos triángulos

-Si!!, tenemos un triángulo de lado 5, y otro triángulo de lado 4. -Grita entusiasmada Margarita-
Adrián escribe en su pizarrín. En general, si llamamos Cn a los números cuadrados de lado n, y Tn a los números triangulares de lado n, tenemos:

A Adrián le gusta jugar con el álgebra y descubrir algunas cosas curiosas.
Entonces...-dice Adrián- tendrá que ser cierta la igualdad:

-No empieces con tus letrajas que me aburres...-le dice Margarita- Yo voy a seguir pintando con mis chinchetas...ahora voy a dibujar hexágonos que me quedan chuliss!!.

Margarita empieza con una chincheta, añade 5 para formar el hexágono, ahora elige chinchetas amarillas y coloca 10 para dibujar el hexágono de lado 3, después elige 13 chinchetas de color azul para dibujar el siguiente hexágono de lado 4, y por último coge 17 chinchetas para construir el hexágono de lado 5.

-¡Qué bonitos hexágonos, Margarita!, fíjate en las chinchetas que vas sumando...de los seis lados que tiene el hexágono, dos son fijos, los de la esquina inferior izquierda (las chinchetas rojas) y añades para formar los otros cuatro lados. En el de lado cinco, si sumamos cinco chinchetas por cada lado ( 5 x 4) estás contando dos veces los vértices, luego restamos tres, por los tres vértices que forman los cuatro lados. En resumen coges  4 x 5 - 3=17 chinchetas verdes. ¿Cuántas cogerías para dibujar el siguiente hexágono de seis lados?

-Muy fácil! - dice Margarita- 4 x 6 - 3 = 21 chinchetas tendría que sumar.
-Fenomenal, Margarita! y ¿Cuántas añadirías para el siguiente hexágono de siete chinchetas de lado?
-Pues 4 x 7 - 3 = 25 más.
-Entonces, Margarita, ¿Cuántas chinchetas necesitarías para llegar al hexágono de siete chinchetas de lado?
- Solo tengo que sumar: 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 y con el truco que me has enseñado tendría 7 veces 26, que son 182 y dividido por dos, 91 chinchetas!!

-¿Y para el hexágono de ocho chinchetas de lado?
- Pues tengo que sumar 4 x 8 - 3 = 29, luego 91+29=120 chinchetas!!

Margarita sigue dibujando hexágonos hasta llegar a colocar las 120 chinchetas, mientras Adrián escribe en su pizarrín. En general para construir el número hexagonal de lado n:

-¿Adrián?...
-Dime margarita
-¿También podemos dividir los hexágonos en triángulos?
-¡Por supuesto que si, Margarita!...Veamos, ¿Cuántos puedes dibujar?
-Cojo tres chinchetas del hexágono rojo para completar un triángulo del mismo número de chinchetas y me quedan 6 -3 = 3 vértices para completar tres triángulos de lado una chincheta menos. Mira Adrián.

-Muy bien, Margarita!!
Adrián escribe en su pizarrín, si llamamos Hn al número hexagonal de lado n, tenemos:

 

Entonces la suma tendrá que ser igual..-piensa en voz alta Adrián-

Y en general, cualquier número poligonal, Pn , con L lados, podemos descomponerlo en suma de números triangulares

Adrián está ensimismado, no se ha dado cuenta que ha dejado de llover y ha salido el sol. Margarita ha recogido todas sus chinchetas y ha salido corriendo a la calle, todavía tiene tiempo para jugar, saltar, cantar e imaginar que es una preciosa princesa que va dejando estelas de flores con forma hexagonal...

Margarita no ha podido dibujar pentágonos regulares, en su cuadrícula, pero el proceso es el mismo. Sabrías decirnos cuántas chinchetas necesitaríamos para formar el número pentagonal con 8 chinchetas en cada lado...y más difícil aún, sabrías obtener la fórmula general para llegar a tener n chinchetas de lado?

Esta entrada participa en la edición 2.8 del Carnaval de Matemáticas que esta edición tiene como anfitrión a Ciencia Conjunta.