La curva de Agnesi

En el punto 5 del listado de los 17 Objetivos de Desarrollo Sostenible dentro de la Agenda 2030, está la de alcanzar la igualdad entre los géneros y empoderar a todas las mujeres y niñas.

Desde el año pasado y con el fin de lograr el acceso y la participación plena y equitativa en la ciencia para las mujeres y las niñas, y además para lograr la igualdad de género y su empoderamiento, hay un nuevo día señalado dentro del calendario en los Días internacionales de las Naciones Unidas: el 11 de febrero, Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia.

Un grupo de científicos, comunicadores y divulgadores se han unido en un proyecto para coordinar y difundir todas aquellas actividades que se realicen para celebrar este señalado día.
Podéis ver toda la información en su página web: https://11defebrero.org/ y seguir su cuenta de twiter: @11defebreroES

Autora: María del Álamo Ortega @marialamort

Hay muchas actividades propuestas e ideas para llevar al aula. Algunas tratan sobre mujeres científicas que la historia no ha tratado debidamente, puesto que han pasado desapercibidas frente a sus contemporáneos varones, más famosos y más reconocidos, pero no por ello más importantes en el desarrollo científico.

Aprovechando la semana del carnaval de matemáticas, traigo a este rinconcito el nombre de una mujer matemática, muy relacionada con nuestro currículo en bachillerato. Fue una genialidad en el campo de las matemáticas, sin embargo a la edad de 34 años decidió dedicar su vida a ayudar a los más pobres y necesitados dentro de una vida religiosa. Ella pudo elegir ese camino, pero no por falta de capacidad.

Las niñas de hoy serán las científicas del mañana y necesitan modelos científicos, que no tienen que ser siempre hombres. Hay muchas mujeres en la historia que contribuyeron y contribuyen al avance de la ciencia que de otra manera quedaría sesgado e insuficiente. Pero también son libres de elegir su camino y dedicarse a lo que ellas realmente quieran hacer. Ojalá nunca les falten las oportunidades de convertirse en mujeres científicas.

María Gaetana Agnesi.

Nos encontramos en pleno siglo de las luces, la Ilustración, el siglo XVIII europeo. Agnesi nace en Milán el 16 de mayo de 1718. Desciende de una familia adinerada, enriquecida en el comercio de la seda. Es la hija mayor de Pietro Agnesi y Anna Fortunato Brivio. Tiene la suerte de nacer en Italia, donde la mayoría de hombres admira a las mujeres intelectuales, que jamás son ridiculizadas por su cultura y educación científica.

Influye muchísimo en ella, su padre, profesor de matemáticas en la Universidad de Bolonia que le procura una educación excelente. Es una niña prodigio, María Gaetana Agnesi tiene:

• 5 años cuando ya habla francés correctamente
• 9 años cuando puede conversar en latín, griego, hebreo, alemán, español, francés e italiano.
• 10 años y destaca en matemáticas, se familiariza con las obras de Newton, Leibniz, Descartes y Fermat.
• 14 años cuando resuelve problemas de geometría analítica y cinemática que ya quisiéramos que resolvieran nuestros chicos de 17...
• 17 años cuando elabora un completo comentario crítico del análisis de las cónicas del Marqués de L´Hôpital. 

Resulta curioso la distinta atención recibida por L´Hôpital y Agnesi en la historia: hoy conocemos la regla de L´Hôpital para el cálculo de límites sin saber que esa regla fue elaborada por Bernoulli y comprada por L´Hôpital para publicarla en su nombre. En aquella época era habitual costear las publicaciones propias, así que había que tener dinero para pasar a la historia. María, sin embargo, recopiló, sistematizó y completó con aportaciones originales el saber científico de su época (también tuvo dinero para publicarlo), pero se la conoce casi exclusivamente por la curva que estudió minuciosamente vinculada erróneamente al término bruja.

• 20 años cuando opina y discute sobre filosofía, lógica, mecánica, elasticidad, mecánica celeste y la teoría newtoniana de la gravitación universal. Su padre publicó 190 ensayos recopilando estas discusiones. 

Su casa reunía a la élite intelectual del momento, María participaba en la mayoría de seminarios, asombrando a los invitados por su inteligencia y erudición. María es muy religiosa, tímida y no le gusta exhibirse en estas reuniones públicas. Ella quiere ingresar en un convento, pero su padre se niega, a cambio de no tomar los hábitos, seguir viviendo en casa, y cuidar de él y de sus hermanos, pide a su padre "poder ir a misa siempre que quiera, vestir sencilla y humildemente, y no tener que asistir a bailes y fiestas"

• Con 21 años, su profesor Ramiro Rampinelli, monje y catedrático de matemáticas de la Universidad de Padua le sugiere escribir un libro de cálculo diferencial. Comienza a escribir Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana. 

La última esposa de su padre muere (tuvo tres esposas) y ella se encarga de sus, nada menos que 20 hermanos, nacidos en los tres matrimonios. María definitivamente se aparta de la vida pública.

• 30 años, cuando consigue editar el primer tomo de las Instituciones Analíticas. 

Este tomo recogía de modo claro, riguroso y didáctico la geometría cartesiana. Un año más tarde publica el segundo tomo con una primera sección sobre análisis de cantidades finitas, problemas de máximos y mínimos, tangentes y puntos de inflexión. Una segunda sección sobre infinitésimos. Una tercera sobre cálculo integral y una última sobre métodos de resolución de ecuaciones diferenciales.

Cuando este libro fue publicado, causó sensación en el mundo académico y fue considerado por la Academia de Ciencias de París como el mejor tratado de cálculo diferencial e integral desde LHôpital hasta Euler. Los círculos científicos más importantes de la época opinaron que era admirable el arte con el que había logrado reunir las diversas aportaciones realizadas por los diversos matemáticos de la actualidad, a las que cada cual había llegado por métodos distintos y que María había logrado unificar, además de completar con aportaciones originales.

• 34 años tiene cuando su padre muere y María abandona su casa para ingresar en un convento y dedicar su vida al cuidado de pobres y enfermos.

De todo su trabajo, 25 volúmenes se guardan en la Biblioteca Ambrosiana de Milán, únicamente ha trascendido a lo largo de casi tres siglos, el nombre adulterado de una curva que María analizó con detalle e intención didáctica, como lo hizo con otros muchos ejemplos de su obra principal. Se trata de la curva de la bruja de Agnesi, como se conoce la curva sinusoidal versa. Esta curva fue llamada versiera por Guido Grandi. Lo hizo por la forma en que se origina, pues versiera viene del latín vertere, que significa virar, girar. El italiano vulgar evolucionó y llegó a decirse avversiera, voz similar a avversiere que significa esposa del demonio. John Colson cayó en esta confusión cuando María, a sus 42 años, estaba retirada de toda actividad matemática. Colson muere sin llegar a publicar la traducción al inglés de las Instituciones analíticas y esta se realiza dos años después de la muerte de María, a sus 81 años, de esta manera empieza la confusión de la curva llamada bruja de Agnesi.

La curva de Agnesi

Versiera significa girar, y es una recta la que gira con un punto fijo en una circunferencia y lo hace en todas direcciones. En el punto diametralmente opuesto al centro del giro, hay una recta tangente a la circunferencia. La recta al girar, va cortando a la circunferencia y a la recta tangente. Dos rectas trazadas desde esas intersecciones paralelas a la tangente y al diámetro respectivamente, se cortan en un punto que , al moverse la recta giratoria, describe una curva: la curva de Agnesi.

El punto P dibuja la curva Agnesi al girar la recta r

Actividad 1: Realizar la construcción en geogebra, animando el punto A y seleccionando el rastro en el punto P.

Actividad 2: Obtener sus ecuaciones cartesianas para un diámetro unidad.

Llamemos:
C al punto fijo, centro del giro. Lo colocamos en el origen de coordenadas. C = (0,0)
D punto de la circunferencia diametralmente opuesto a C. D=(0,1)
A a la intersección de la recta con la circunferencia
B a la intersección de la recta dada con la recta tangente a la circunferencia en D. B = (x,1)
P punto de la curva Agnesi. P = (x,y)
E a la intersección de la recta perpendicular al diámetro que pasa por P. E =(0,y)

Entonces el triángulo CDB es semejante a CEA, por tanto: DB/EA=CD/CE
Es decir:

 

El triángulo DAC es rectángulo por estar inscrito en la circunferencia y abarcar un diámetro, EA es su altura, que divide al triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos proporcionales entre sí, CEA y ADE, así (teorema de la altura) obtenemos la relación: DE/EA=EA/EC. Y por tanto:



Sustituyendo EA en la igualdad anterior, tenemos:




Y operando:









Luego:



¿Os suena?

¡Es la derivada de artgx!

Tenemos un contorno infinito, sin embargo esta curva es una cajita de sorpresas, pues encierra una superficia ¡finita!.

Actividad 3. Calcular el área que forma la curva de Agnesi con el eje OX. Comprobar el resultado utilizando geogebra.







No solo es sorprendente que su medida sea finita, sino que valga exactamente pi, tal vez el número más famoso de la historia de las matemáticas.

En geogebra utilizando la sentencia Integral[1/(1+x^2),-infinity,infinity]

Actividad de ampliación:

Y si giramos la curva alrededor de su asíntota, es decir alrededor del eje X, formando un sólido de revolución, ¿Qué volumen tendría?

Actividad 4: Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva de Agnesi alrededor del eje OX. Construir el cuerpo de revolución en geogebra utilizando el rastro de la curva en la ventana 3D.

Tomamos un disco, la sección cortada por un plano perpendicular al eje de revolución del cuerpo.
Este círculo tendrá área: pi*r^2, donde el radio es precisamente |f(x)|. Luego tenemos que calcular:

Para calcular esta integral se utiliza un método que llamamos Método de Hermite. Ver desarrollo.

Así obtenemos:

Esta entrada participa en la Edición 7.X del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog del IMUS.