El pasado 10 de noviembre la
Asociación Castellana y Leonesa de Educación Matemática "Miguel de Guzmán" , junto con la Junta de Castilla y León, organizó en Burgos el XI Congreso de Educación Matemática de Castilla y León.
Una de las comunicaciones a las que tuve el placer de asistir, corrió a cargo de Francisco Bellot Rosado. El título era:
¡Que vienen los rusos!, ( genial, no os parece?) según palabras de Bellot, fue deliberadamente elegido siguiendo el consejo de Claudi Alsina, un título provocador, que llama la atención, como es el de la película de 1965, en la que un submarino ruso encalla en una pequeña aldea de la costa Este de los EEUU.
Francisco Bellot nos mostró algunos de los problemas de las Olimpiadas y concursos matemáticos rusos. Una maravilla de comunicación...
Uno de los problemas con los que disfrutamos, fue el problemas de los cuatro circuncentros:
La siguiente figura, hecha en geogebra, es la que aparece en un curioso libro de Arsenyi Akopyan, Geometry in Figures, donde no hay texto de los problemas, sólo la figura. En trazo discontinuo, lo que hay que probar:
El enunciado del problema es el siguiente:
En el lado BC del triángulo ABC, se toman dos puntos M y K, tales que los ángulos BAM y KAC sean iguales. Demostrar que los circuncentros de los cuatro triángulos BAM, BAK, MAC y KAC están en una circunferencia.
En geogebra: Podéis mover los vértices del triángulo ABC y el punto M ( K es el simétrico respecto de la bisectric del ángulo A, puesto que AM y AK son isogonales )
La demostración es prácticamente visual, si nos fijamos bien en la siguiente imagen:
Trazamos las mediatrices de los lados.
Rectas perpendiculares forman el mismo ángulo.
O1 y O4 están en el arco capaz del segmento O2 y O3, luego en la misma circunferencia.
Problema de T. Emelyanova, de la Olimpiada rusa de 2011, Fase de Repúblicas, Grado10, problema 2.
Con esta entrada participo en la
edición 3.14159265 del
Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es
pimedios-la aventura de las matemáticas.
