domingo, 22 de abril de 2012

Proporciones en hexágono II

Para Robín:
Te dejo los archivos en geogebra. Si haces doble clic, creo que puedes verlo mejor. Tienes un protocolo de construcción donde ves cada paso.

En primer lugar, sigo con tu notación del comentario en la entrada anterior.
Fijado L y k buscamos b y alfa.


Por el teorema del Coseno:

Nos quedamos con la solución positiva, por tanto:

Para calcular alfa es más sencillo utilizar el teorema del seno:





 En este caso el ángulo alfa recorre las amplitudes desde 1 hasta 120. Aplicando el teorema del seno obtenemos b=sen(alfa)L/sen(60).




 En este caso fijamos la constante k y obtenemos el ángulo alfa, aplicando el teorema del coseno:
b=l/2(raíz(4k-3)-1)



15 comentarios:

  1. Gracias Ana. Podías haber dicho que (y haberlo escrito incluso), que
    sen (alfa) = raíz(3)(-1+raíz(4k-3)) / 4 raíz(k).
    Lo has hecho más fácil. Yo estuve dando vueltas bastante tiempo antes de encontrar la solución y sin haber pensado en el teorema de los senos, del que ni siquiera me acordé que existía. Tengo que encontrar tiempo para mirar con detenimiento lo de los Geogebra, que veo que es una herramienta potente que aún no entiendo bien; aunque a mí me bloquea frecuentemente el ordenador o incluso esta tu página, a la que no puedo acceder a veces, para este comentario , por ejemplo, por culpa del Java que se pone a calcular en bucle algo.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Gracias a ti Robín, por tus comentarios y tu participación. Me encantan tus razonamientos.
      Geogebra utiliza Java, así que lo mismo tienes que actualizar el Java. ¿Qué navegador utilizas?

      Eliminar
  2. Tienes el hoarario, en el blog, de los dueños de blogspot, el de California (menos 9 horas)

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Es que este blog no tiene horarios...gracias por el detalle, lo cambiaré :)

      Eliminar
  3. Generalización a polígonos regulares de n lados:

    Partiendo de que gama = 360/n, que d = b+l, que L = raíz(k)l, que por el teorema del coseno L^2=b^2+d^2-2bd cos(gama) y de que por el teorema del seno b / sen(alfa) = L / sen(gama)

    obtenemos que:

    sen(alfa) = (sen(gama)(-1+raíz(1+(2k-2)/(1-cos(gama))))/2raíz(k)

    que para el hexágono (n=6) nos da gama = 60º y
    sen(alfa) = (raíz(3)(-1+raíz(4k-3)))/4raíz(k)

    Para el octógono (gama = 45º) y k=2, obtendríamos alfa = 26,71º

    Para el 40-ágono (gama = 9º) y k=2 alfa = 40,68 º

    La función alfa = f(n) es creciente.

    Pregunta:

    ¿ Existe algún otro valor de n y de k enteros tal que alfa sea entero en grados, como en el caso de n=6 y k=3 (alfa=30º)?

    Procedase a hallar ese valor entero en grados de alfa y n y k o a demostrar que no puede existir.

    ResponderEliminar
  4. Aparentemente, el único otro caso con el ángulo entero y también divisor de 360 º, es k = 2, n = 4, alfa = 15 º

    Aquí va un pequeño programa par calcular alfa en función de n y de k con el excelente y también gratuito Pari gp :

    for(k=2,10,for(n=3,20,print([k,n,(180/Pi)*asin(sin(2*Pi/n)*(-1+(1+(2*k-2)/(1-cos(2*Pi/n)))^(1/2))/(2*k^(1/2)))])))

    [2, 3, 9.295188945364570330759748906]
    [2, 4, 15.00000000000000000000000000]
    [2, 5, 19.10590090294487096292378437]
    [2, 6, 22.23875609296496193938551740]
    [2, 7, 24.71119991537406526464622401]
    [2, 8, 26.71052905907471089038291360]
    [2, 9, 28.35885673209021020700630436]
    [2, 10, 29.73980473009234620946241753]
    [2, 11, 30.91263368739444549710823670]
    [2, 12, 31.92048285812906547085387880]
    [2, 13, 32.79546600485991605311666816]
    [2, 14, 33.56195391177828681209739395]
    [2, 15, 34.23875609296496193938551740]
    [2, 16, 34.84060879450047806997059251]
    [2, 17, 35.37921264415422618270212444]
    [2, 18, 35.86397053617525509029474181]
    [2, 19, 36.30252160090604829745135838]
    [2, 20, 36.70113375549539392634192502]
    [3, 3, 13.22134511903964235355960042]
    [3, 4, 20.90515744788929903292895837]
    [3, 5, 26.15468023279699721762983931]
    [3, 6, 30.00000000000000000000000000]
    [3, 7, 32.94174900195308159468739556]
    [3, 8, 35.26438968275465431537700033]
    [3, 9, 37.14384452458693306589880483]
    [3, 10, 38.69520691088642686110441832]
    [3, 11, 39.99700893017037634147402130]
    [3, 12, 41.10466444983656848974122389]
    ........


    No he copiado todo, por ser muy largo. Saludos, Ana
    Nota: Sigo aveces-y otras no- sin poder entrar en esta entrada en paerticular, por bloqueo y con el procesador al 30 % de trabajo, que es mucho

    ResponderEliminar
  5. Hola Robín, yo he encontrado algunos valores que cumplen tu enunciado:
    k=4, n=8, alfa=40º,
    k=30, n=10, alfa=62º,
    k=2, n=24, alfa=38º,
    k=107, n=24, alfa=77º

    Voy a construir otro archivo en geogebra con la generalización.
    Saludos

    ResponderEliminar
  6. Preciosa Ana. ¿No será que redondeas demasiado, como Messi y los futboleros aproximados, aunque cubiertos de oro ?

    (k,n)=(4,8)--> alfa = 39,998º
    (k,n)=(30,10)--> alfa = 62,0006º
    (k,n)=(2,24)--> alfa = 37,9881º
    (k,n)=(107,24)--> alfa = 76,99995º

    ResponderEliminar
  7. Vaya!! Pues va a ser que sí...y dices que no hay más valores?

    ResponderEliminar
  8. No digo nada, porque aún no he hecho ninguna búsqueda extensiva. Por otra parte, lo que a mí me gustaría es demostrar, sin fuerza bruta con ordenador, sin buscar exhaustivamente; que no hay más valores enteros en grados de alfa para todo par (n,k) o encontar algún otro par (n,k).Pero en ambos casos, no por fuerza bruta del ordenador.
    Desgraciadamente, soy sólo un "amateur" con conocimientos sólo básicos y elementales de matemáticas. Y además soy lento, torpe, disléxico; me equivoco a menudo y me cuesta mucho concentrarme; pero soy majo. Y no soy constante ni trabajador.

    ResponderEliminar
  9. Jajaja... Y para cuando dices que te vienes a conocer Salamanca? :)

    ResponderEliminar
  10. Cuando tu me la quieras enseñar y tengas días libres. Justamente estoy buscando una protectora que me ayude.

    ResponderEliminar
  11. Siguen los resultados, aunque ahora, no tan relevantes, de mera computación y fuerza bruta por ordenador:


    for(k=2,1000,for(n=3,1000,x=(180/Pi)*asin(sin(2*Pi/n)*(-1+(1+(2*k-2)/(1-cos(2*Pi/n)))^(1/2))/(2*k^(1/2)));if(abs(round(x)-x)<5*10^-6,print([k,n,x]))))

    [2, 4, 15.00000000000000000000000000]
    [3, 6, 30.00000000000000000000000000]
    [72, 776, 82.99999559202038090962123319]
    [91, 183, 82.99999851285136714870408115]
    [180, 248, 84.99999773585175588156410845]
    [243, 559, 86.00000300071382107611997311]
    [245, 534, 85.99999702828698338931899305]
    [338, 204, 85.99999881865528214362237842]
    [420, 886, 86.99999894086505343585436203]
    [855, 173, 87.00000435783125338850815154]
    time = 48,968 ms.

    Sólo 10 resultados de aproximadamente 10^6 o sea sólo 1/10^5 (uno de cada 100.000), se aproximan a menos de 5*10^-6 de un ángulo entero alfa, en grados.

    Afinando por fuerza ordenaril (1) (que no ordinaria), aún más, llegamos a esto:


    for(k=2,1000,for(n=3,10000,x=(180/Pi)*asin(sin(2*Pi/n)*(-1+(1+(2*k-2)/(1-cos(2*Pi/n)))^(1/2))/(2*k^(1/2)));if(abs(round(x)-x)<10^-6,print([k,n,x]))))

    [2, 4, 15.00000000000000000000000000]
    [3, 6, 30.00000000000000000000000000]
    [42, 1456, 80.99999937483687536046087255]
    [133, 7037, 85.00000031063522341724832834]
    [209, 5357, 86.00000055003023784758528005]
    [210, 4179, 85.99999953335615398976640910]
    [370, 9004, 86.99999995002526090630621329]
    [371, 7496, 87.00000085353784142841008136]
    [372, 6424, 87.00000009910863632693271900]
    [378, 3480, 86.99999923680990728408738073]
    [382, 2678, 87.00000005067636611829701646]
    [388, 2000, 87.00000017733443774764228915]
    [837, 9388, 88.00000027912674761309577303]
    [838, 8842, 87.99999902178738569790098084]
    [839, 8358, 88.00000075410919963691182121]
    [840, 7924, 87.99999969768272448703893183]
    [841, 7534, 88.00000019515412266373252956]
    [842, 7181, 88.00000003141263536756210684]
    [843, 6860, 87.99999931304761856802260850]
    [845, 6299, 88.00000057380549505340909246]
    [846, 6052, 88.00000027284344468056720832]
    [847, 5824, 87.99999981646986547139901827]
    [848, 5613, 87.99999984089138826637142916]
    [849, 5417, 87.99999931939962441005037179]
    [853, 4756, 87.99999986151023703161704391]
    [857, 4242, 88.00000034994807380810962434]
    [886, 2408, 87.99999917292694768122331535]
    time = 7min, 52,930 ms.
    Se ha buscado hasta k =1000 y n=10000 con una precisión de 10^-6
    (una millonésima), encontrándose 27 resultados que se aproximan a menos de una millonésima de un valor entero , para el valor del ángulo alfa, es decir unos 27/10^7 es decir sólo unos tres de cada millón.
    Notemos que menos un resultado que está por 81 º, todos los demás resultados se sitúan por ángulos de 85, 86, 87 o 88 grados; muy cerca de 90 º. Confieso que por el momento no sé por qué, quizás sea un amera cuestión de probabilidad.

    A destacar también que existen, exceptuando k= 844; 12 valores consecutivos de k, desde k=837 hast k=849, en el que existe siempre algún valor de n, que nos da un ángulo alfa tan cerca de un valor entero. Esto es lo más raro me parece a mí, aunque puede ser mera casualidad.

    (1): de ordenador; claro.

    ResponderEliminar
  12. Y finalmente;buscando hasta k=5000 y n=30000 y valores del ángulo alfa a menos de una diezmillonésima (10^-7) de un valor entero en grados, encontramos 57 resultados: unos 4 de cada 10 millones : (3.8*10^-7) y todos o casi en 88 o en 89 grados, muy cerca del prohibido 90º = 180º/2 = mitad del ángulo interno de la circunferencia, es decir del polígono de infinitos lados.

    ResponderEliminar
  13. Una búsqueda más exhaustiva, indicaría que no existe ningún otro valor del ángulo alfa que sea un número entero en grados,con casi total seguridad. Aunque debido a que 360 º es una cantidad arbitraria (con muchos divisores, pero arbitraria puesto que podría ser de 360s siendo s el número entero que queramos, debieramos haber buscado números enteros t que dividen 360s; es decir números racionales s/t=alfa )

    ResponderEliminar