La crisis según Einstein

Vía @francescprats

Tiempo para la creatividad

Etre créatif demande du temps - Insolite

Conjunto Natural

Hoy es el día de la poesía y no puedo evitar escribir unas líneas...

Uno, dos y tres...

cuatro, cinco y seis...

los números naturales

con Peano construiréis.

Cinco postulados,

cinco axiomas son.

¿Empezamos con el uno?

No!...con el cero!

que tengo admiración,

la historia descubrí

buscando su aparición, 

además es redondito

y me mola mogollón.

Bueno, vale..

pues el cero será el primero.

 ¿Y el siguiente?

¡Qué bien! 

¡Cómo aprendes!

pues eso es...el siguiente:

El segundo postulado;

la aplicación existente.

 por cada número

otro le sigue diferente,

y así, inyectivamente

resulta la aplicación siguiente.

Todos son imágenes

como bien aprendiste,

todos, salvo uno,

el cero, tu referente.

Y una cosa más

para completar

pues se ha de verificar,

para después poder demostrar

el teorema y la propiedad,

que nuestro conjunto

bien definido está,

y si hay otro igual

lo mismo nos da.

Y entonces..

¿Qué es lo que falta?

Pues el quinto axioma,

y escribe bien la etiqueta,

se trata de la inducción completa.

¿Y eso es importante?

Claro!...es vital!

Es el método para demostrar.

Pues si otro conjunto aparece,

queriéndonos engañar,

con el cero incluido y tal,

que para todo elemento,

su siguiente está.

Entonces, amiguito,

podemos asegurar,

que ese conjunto no es más

que el mismo Natural.

21/03/12 por @Anuska72

Actualizando a 3/04/2014
Probando una nueva app: voz

Jugando con multiplicaciones

9:30. a.m., Adrián abre los ojos. El sol entra con fuerza por la ventana, iluminando toda la habitación. El calendario señala que hoy es lunes. Adrián sonrie...es un lunes muy especial. Pasará el día en el campo con Margarita y su padre.
Se levanta dando un salto y va directo a la cocina, piensa en hacer unas deliciosas tortitas con miel para él y Margarita. Entra en la cocina y ve con sorpresa a su hermana concentrada en un cuadernillo de cuentas.

- No puedo creer que te hayas levantado antes que yo!
- Buenos días Adrián- le contesta Margarita, - Ayer no pude terminar mis ejercicios y hoy quiero acabarlos antes de que venga papá.
Adrián besa a su hermana con dulzura.
- Bien pequeñina, haré unas tortitas mientras tu acabas tus cuentas- dice Adrián mientras mira de reojo el cuadernillo de Margarita; está lleno de multiplicaciones y fija su atención en algunas de ellas: 88x96, 83x98, 76x87.. y en la hoja siguiente,..105x117, 1026x1003...
- Margarita, yo conozco un truco para esas multiplicaciones...
-¿En serio?- ...a Margarita se le ilumina la cara...- Me encantan tus trucos, Adrián, cuéntame porfi, porfi, porfi!
Adrián escribe en su pizarrín.-Mira Margarita-

-Qué rápido Adrián! Explícame eso que has hecho-
- Verás, Margarita, cuando los números son próximos a cien, pero mayores que cien, puedes operar de esta forma: En una columna escribes los números y en otra columna la diferencia con cien. Ahora solo tienes que multiplicar los números de la segunda columna ( mucho más pequeños ) y hacer una suma cruzada con cualquiera de los dos números, poniendo el resultado en la primera columna...y voilá...solo juntas los números y ya tienes el resultado.
Margarita observa con atención..
- Voy a probar yo... 123 x 107...veamos

-Cuidado Margarita-dice su hermano Adrián- si en la segunda columna te pasas de 99, la cifra de las centenas debes sumársela a la cantidad de la primera columna.
-Ah!, entonces tengo que 123 x 107 = 13161
-Muy bien! Perfecto.

A Adrián, ya sabéis que le encanta el álgebra y jugar con números. Rellena su pizarrín con la explicación algebraica: (100 + a) · (100 + b) = 100 · (100 + a + b) + a·b

Margarita, concentrada en sus multiplicaciones le pregunta a su hermano

-Y si los números son más pequeños que cien?

- Exactamente igual, Margarita, salvo que la suma cruzada es una resta...Observa.

Adrián escribe en su pizarrín el desarrollo algebraico: (100 - a) · (100 - b) = 100(100 - a - b) + ab

Adrián deja su pizarrín y se pone manos a la obra. Mezcla harina, huevos y leche...Las tortitas no tardan en hacerse mientras Margarita sigue con sus cuentas.
Al cabo de un rato le pregunta a su hermano.
-Y si un número es mayor que cien y el otro es menor que cien?
-En ese caso, princesita, tendrás que hacer una resta... Fíjate

-A ver si lo he entendido..- dice Margarita- al multiplicar 98 por 107 lo que tenemos son 105 centenas menos 14 unidades?
-Si! -responde Adrián- eso es!
Adrián está disfrutando de las tortitas y contempla con admiración el trabajo de su hermana.
Margarita ha terminado una hoja y continua en la siguiente donde aparecen multiplicaciones de números próximos a mil.
-Creo que ya sé cómo voy a  hacer estas multiplicaciones- dice entusiasmada

-Y cómo la primera columna son unidades de millar, tengo que añadir tres cifras, si la suma de la segunda columna no llega a las centenas, entonces añado un cero.

- Estupendo Margarita!
-Yupiii! ¡Qué rápido voy!...Me encantan tus trucos Adrián!

Mientras Margarita se divertía haciendo sus "productos trucados", Adrián , que ya había terminado su magnífico desayuno, limpiaba la cocina y dejaba todo recogido.
Papá llegó en ese momento. Hoy iban a pasarlo bien.
-Papi!!- grito Margarita loca de contenta. Corrió a sus brazos y le besó.
Adrián y su padre se guiñaron un ojo. El sol lucía en el cielo, era hora de salir y disfrutar de él.

Nota al lector: Método védico descrito por Swami Bharati Krihna Tirthaji (1884-1960) en su libro "Vedic Mathemathics" publicado en 1865, donde explica el segundo de los dieciseis sutras: Todo a partir del nueve y lo último a partir del diez. Nikhilam Sutra.

Esta entrada participa en la edición 3.14 del carnaval de matemáticas, cuyo anfitrión es en esta ocasión Hablando de ciencia. A disfrutar carnavaleros!! y feliz día a todos los papis!!

Potencias

Estupenda animación para trabajar con las potencias de diez.

Enlace a la web
Gracias a @juanmtg1

Fracciones egipcias

Bien mis pequeños escribas egipcios...ayer aprendimos a multiplicar y a dividir si el resto es cero, pero...¿qué pasa si no es exacta la división?, cosa que ocurre frecuentemente si dividimos por dos...

Vamos a seguir unas reglas:

"The Rhind Mathematical Papyrus - An Ancient Egyptian Text " , Gay Robins and Charles Shute. British Museum Press, 1987

Por extraño que nos parezca, para calcular un tercio de un número, un escriba calcula primero los dos tercios y después divide por dos. Es más, los 2/3 tienen su propio símbolo jeroglífico o hierático. Los escribas egipcios no usan fracciones compuestas, todas son fracciones de la unidad ( salvo 2/3), esto os va a gustar... y todas las fracciones se descomponen en una suma de fracciones de la unidad. Prohibido usar 1/n + 1/n para representar 2/n . En nuestro proceso de multiplicar por dos, o doblar una fracción, no encontraremos problemas cuando nuestro denominador sea par, ni al doblar 1/3 pues resulta 2/3, pero para todas las demás fracciones con denominador impar utilizaremos una tabla de descomposición. La tabla del papiro de Ahmes.

Tabla 2/n

2/5	1/3+1/15	2/53	1/30+1/318+1/795
2/7	1/4+1/28	2/55	1/30+1/330
2/9	1/6+1/18	2/57	1/38+1/114
2/11	1/6+1/66	2/59	1/36+1/236+1/531
2/13	1/8+1/52+1/104	2/61	1/40+1/244+1/488+1/610
2/15	1/10+1/30	2/63	1/42+1/126
2/17	1/12+1/51+1/68	2/65	1/39+1/195
2/19	1/12+1/76+1/114	2/67	1/401/335+1/536
2/21	1/14+1/42	2/69	1/46+1/138
2/23	1/12+1/276	2/71	1/40+1/568+1/710
2/25	1/15+1/75	2/73	1/60+1/219+1/292+1/365
2/27	1/18+1/54	2/75	1/50+1/150
2/29	1/24+1/58+1/174+1/232	2/77	1/44+1/308
2/31	1/20+1/124+1/155	2/79	1/60+1/237+1/316+1/790
2/33	1/22+1/66	2/81	1/54+1/162
2/35	1/30+1/42	2/83	1/60+1/332+1/415+1/498
2/37	1/24+1/111+1/296	2/85	1/51+1/255
2/39	1/26+1/78	2/87	1/58+1/174
2/41	1/24+1/246+1/328	2/89	1/60+1/356+1/534+1/890
2/43	1/42+1/86+1/129+1/301	2/91	1/70+1/130
2/45	1/30+1/90	2/93	1/62+1/186
2/47	1/30+1/141+1/470	2/95	1/60+1/380+1/570
2/49	1/28+1/196	2/97	1/56+1/679+1/776
2/51	1/34+1/102	2/99	1/66+1/198
		2/101	1/101+1/202+1/303+1/606

Es curioso que entre las aproximadamente 28000 combinaciones diferentes de sumas de la fracción de la unidad que se pueden generar para 2/n, con n=5,7,...,101. Los escribas egipcios eligieran estas 49 y no otras. Puede ser que siguieran estos criterios:

• Preferentes los denominadores pequeños, y ninguno mayor de 900.
• No más de cuatro sumas.
• Preferencia por los denominadores pares, especialmente en el primer sumando, aún cuando fueran más grandes, o pudieran aumentar el número de sumandos.

Por ejemplo, la fracción 2/17 puede descomponerse en 1/9 + 1/153 sin embargo los escribas utilizan la descomposición 1/12+1/51+1/68...Cuando practiquemos las divisiones nos daremos cuenta de las ventajas de esta elección.
Vamos con un ejemplo, problema número 25 del papiro de Ahmes. Dividir 16 por 3:

Llegamos a la línea azul y  paramos de doblar, porque nos pasamos de 16. Sumamos 12 + 3 = 15 y como buenos escribas, calculamos primero los 2/3 y después dividimos por dos, para conseguir el 1 que necesitamos para llegar a 16. Ahora ya podemos sumar 16 y el resultado de nuestra división es por tanto 1 + 4 + 1/3 = 5 + 1/3.






¿Entendido, pequeños aprendices de escribas?...
Pues vamos con una multiplicación con fracciones:Multiplicar 1 + 8/15 por 30 + 1/3
...
-¿Qué pasa?-Profe, que has incumplido la segunda regla!!-Bien, pequeñuelos... veamos 1 + 8/15 = 1 + 1/3 + 1/5, arreglado!

Perfecto, el producto utilizando la multiplicación moderna sería 46 + 23/45, que es exactamente el resultado egipcio dado en la última fila.





Aunque algo engorroso de realizar, tener en cuenta que únicamente "sabemos" duplicar, dividir por la mitad y utilizar la tabla.
Vamos ahora con una división con fracciones, para ello tomemos como ejemplo el problema número 33 del papiro de Ahmes, que puede ser reformulado de la siguiente manera:La suma de una cierta cantidad y sus dos tercios, su mitad y su séptima parte es 37 ¿Cuál es esa cantidad?
En términos de aprendices de escriba: Dividir 37 por 1 + 2/3 + 1/2 + 1/7.

Para los que no tenéis claro como pasar de la línea azul:
36 + 2/3 + 1/4 + 1/28 está próximo a 37...¿Qué hay que sumarle para llegar a 1?...Pues 1/21, y la cuestión es ¿por qué número multiplico el divisor, en este caso 1 + 2/3 + 1/2 + 1/7, para obtener 1/21...pues si, en efecto, ese número es 2/97, pero mirar en la tabla su descomposición en sumas de fracciones de la unidad.



La solución es por tanto:

Para los pequeños aprendices de escribas que han llegado hasta aquí sin desfallecer, les reto a resolver el problema número 6 del papiro, que trata del reparto de nueve panes entre diez hombres. ¿Cuál sería tu reparto, como buen escriba?

Si tenéis ganas de más problemas de Ahmes, este es un buen sitio para visitar.

Con esta segunda entrada participo en la edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas que  tiene por anfitrión a Scientia potentia est

Aprendices de Escribas

Foto: Ricardo Liberato

Egipto es considerado la patria de una de las cuatro civilizaciones que se desarrollaron a lo largo de los grandes ríos de África y Asia, hace aproximadamente cinco mil años, junto con Mesopotamia, la India y China. Hasta el 1350 a.C. el territorio de Egipto abarcaba el valle del Nilo y parte de Israel y Siria. El control de una extensión de tierra tan amplia requería un eficaz y dilatado sistema administrativo. Había que hacer censos, cobrar impuestos y mantener grandes ejércitos. Las necesidades agrícolas incluían el drenaje, los riegos, el control de inundaciones, la distribución de parcelas de la escasa tierra laborable entre los campesinos, y la construcción de silos para almacenar el grano y otros productos.
Existieron trabajos que requerían aritmética práctica y medidas. Al madurar la civilización egipcia, se desarrollaron prácticas financieras y comerciales que demandaban facilidades en el manejo de números. La construcción de calendarios, y de un sistema estándar de pesas y medidas fueron también productos de una cultura numérica desarrollada y servida por un número creciente de escribas y secretarios. El punto máximo de esta cultura matemática práctica está bien ejemplificado en la construcción del legado mejor conocido y más duradero del antiguo Egipto: las pirámides...

Existen dos fuentes principales de las matemáticas egipcias. La fuente principal más importante es el papiro de Ahmes ( o Ahmosis), llamado así por el escriba que lo compuso alrededor del año 1650 a.C. a partir de una obra tres siglos anterior (2000-1800 a.C.), Ahmes apunta la posibilidad de que los conocimientos puedan provenir, en última instancia, de Imhotep (ca. 2650 a.C.), el legendario arquitecto y médico del faraón Zoser, de la Tercera Dinastía. También es conocido como el papiro matemático de Rhind, por el coleccionista británico que lo adquirió en 1858 y lo donó posteriormente al Museo Británico. La segunda fuente importante es el papiro de Moscú, escrito por el año 1850 a.C. por un escriba anónimo; fue llevado a Rusia y pertenece al Museo de Bellas Artes de Moscú desde 1912. Entre los dos papiros se reúne una colección de 112 problemas con sus soluciones.

En el antiguo Egipto se pueden distinguir tres sistemas de notación diferentes: jeroglífico ( con imágenes), hierático (simbólico) y demótico (popular). La notación hierática aparece en los dos papiros.
Ver numeración egipcia

-Vaya rollo que nos está soltando hoy, profe...
-Había que hacer una puesta en escena chic@s, ahora empieza lo bueno...

Vamos a viajar en el tiempo y a imaginar que somos aprendices de escribas egipcios...Para no liarnos en las explicaciones vamos a utilizar nuestro sistema de numeración.
Supongamos que ya sabemos sumar y que hemos aprendido a multiplicar por 2, pues eso es todo lo que necesitamos para aprender el algoritmo de la multiplicación y la división entera.

Ejemplo. Multiplicar 17 por 13
Escribimos en dos columnas, en la primera escribimos las potencias de dos y en la segunda el número del que partimos, en este caso 17 y duplicamos continuamente el resultado. Cuando en la primera columna (las potencias de dos) superemos el otro número, en este caso el 13, terminamos. Ahora toca sumar...¿Qué sumamos? pues los números de la derecha, que corresponden con las potencias de dos que sumamos para obtener 13.

Después de practicar unas cuantas multiplicaciones, nos damos cuenta de algo...nosotros jugamos con ventaja, porque hemos trabajado con el sistema binario, así que nos es mucho más fácil buscar la descomposición en potencias de dos de cualquier número.
Por ejemplo queremos multiplicar 57 por 68, y sabemos que 57= 111001 en base 2, es decir:

Luego ya sabemos que números tenemos que sumar.

Este antiguo método de multiplicación nos da el fundamento del cálculo en Egipto. Fue muy usado por los griegos y su uso continuó hasta bien entrada la Edad Media en Europa. Existe una variante algo más moderna de este método egipcio, conocida como " el método del campesino ruso" , seguramente por hacerse popular entre las comunidades rurales de Rusia. No existen tablas de multiplicar y lo único que se requiere es poder multiplicar o dividir por la mitad, y de distinguir entre pares e impares, pues los impares son los que tenemos que sumar, ya que corresponden con los "unos" de la expresión en base dos, o lo que es lo mismo, con las potencias de dos que forman la descomposición del número dado.

Veamos un ejemplo: Multiplicar 225 por 17:

La división está estrechamente relacionada con el método de multiplicar. En el papiro de Ahmes se introduce una división  x/y mediante las palabras "calcula con y de modo que obtengas x". Es decir, un escriba egipcio no pensaría en dividir 696 por 29 si no más bien, empezando por 29 ¿cuántas veces tengo que sumar el número 29 consigo mismo para obtener 696?. El procedimiento por tanto es similar a un ejercicio de multiplicación:

El escriba se detendría en 16, pues la siguiente duplicación sobrepasa el divisor, 29. Con los números de la derecha obtenemos el valor deseado, 696, luego la solución es la suma de los correspondientes en la primera columna.

El problema surge si la división no es exacta, entonces el escriba no es capaz de obtener ninguna combinación de números en la columna derecha que sumen el valor del dividendo. Hay que introducir fracciones. Y aquí los egipcios se enfrentaron con limitaciones que provenían de su sistema de numeración, pero el modo como afrontaron el problema fue muy ingenioso...

Y eso, queridos aprendices de escribas, lo veremos otro día...

Fuente consultada: La cresta del pavo real. Las matemáticas y sus raíces no europeas. George Gheverghese Joseph.

Esta entrada participa en la edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas que  tiene por anfitrión a Scientia potentia est